Ekstrema lokalne funkcji

[Januszgolenia]

Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
\(f(x)= \begin{cases}x^3+8x^2+21x+18&\text{jeśli}&x<-2\\ \frac{x^2-4}{x^2+1}&\text{jeśli}& x \ge -2\end{cases} \)

[Jerry]

\(f'(x)= \begin{cases}3x^2+16x+21&\text{jeśli}&x<-2\\ \frac{10x}{(x^2+1)^2}&\text{jeśli}& x >-2\end{cases} \)

Ekstrema różniczkowalne:
\(f'(x)=0\iff x\in\{-3,-{7\over3},0\}\)
Po zbadaniu znaku pochodnej:
\(f\nearrow(-\infty;-3)\wedge f\searrow\left(-3;-{7\over3}\right)\wedge f\nearrow\left(-{7\over3};-2\right)\wedge f\searrow(-2;0)\wedge f\nearrow(0;+\infty)\).
Zatem dla \(x=-3\) mamy maksimum, a dla \(x\in\{-{7\over3},0\}\) - minima

Ekstrema nieróżniczkowalne:
\(f\) w \(x=-2\) przechodzi z przedziału rośnięcia w przedział malenia, zatem istnieje możliwość osiągnięcia maksimum... Ponieważ
\(\Lim_{x\to-2^-}f(x)=0=f(-2)=\Lim_{x\to-2^+}f(x)\)
to jest to fakt

Pozdrawiam
PS. Pozostaje policzyć wartości ekstremalne! Rachunki do sprawdzenia...

[edited] poprawa redakcji postu

[janusz55]

Nie ma w Analizie pojęcia "ekstrema różniczkowalne".

Funkcja może być funkcją różniczkowalną lub nieróżniczkowalną w danym punkcie w przedziale. Funkcja może mieć ekstremum lokalne lub może nie mieć ekstrema lokalnego w danym punkcie.

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego w danym punkcie jest zerowanie się pochodnej pierwszego rzędu funkcji w tym punkcie. Ekstremum lokalne, które jak sama nazwa wskazuje jest pojęciem lokalnym, odnosi się do otoczenia danego punktu.

Funkcja

\( f(x) = \begin{cases} x^3 + 8x^2 + 21x +18 \ \ \text{ gdy} \ \ x < -2 \\ \frac{x^2 -4}{x^2 +1} \ \ \text{gdy} \ \ x\geq -2 \end{cases} \)

W punkcie \( x_{0} =-2 \) jest ciągła -granice lewo - prawostronna są równe i równe wartości funkcji \( f(-2)= 0 \)

W punkcie \( x_{0} = -2 \) - wykresy funkcji wielomianowej i wymiernej przecinają się (zmieniając znaki) - ekstremum lokalnego brak.

Pozostało zbadanie istnienia ekstremów lokalnych wielomianu trzeciego stopnia w przedziale \( (-\infty, \ \ -2) \) i funkcji wymiernej w przedziale \( [-2, \ \ \infty).\)

Zauważmy, że wielomian \( w(x) \) można przedstawić w postaci iloczynowej

\( w(x) := x^3 +8x^2 +21x +18 = x^3 +6x^2 +9x +2x^2+12x +18 = (x+2)(x^2+6x +9) = (x+2) (x+3)^2 \)

Obliczając pierwszą pochodną wielomianu i porównując z zerem otrzymujemy

\( w'(x) = (x+3)^2 + 2\cdot (x+2)(x+3) = (x+3)[(x+3) + 2(x+2)] = (x+3)( 3x +7) = 0 \)

Mamy dwa punkty, w których funkcja wielomianowa może, ale nie musi mieć w nich ekstremum lokalnego:

\( x_{1} = -3, \ \ x_{2} = -\frac{7}{3}. \)

Punkt \( x_{1} = -3 \) jest miejscem zerowym wielomianu - ekstremum lokalnego brak.

W punkcie \( x_{2} = -\frac{7}{3} \) pierwsza pochodna zmienia znak z watości ujemnej na dodatnią- występuje więc minimum lokalne funkcji

\( f_{min. lok.} = f \left(-\frac{7}{3}\right) = \left( -\frac{7}{3}+2\right)\cdot \left(-\frac{7}{3}+3\right)^2 = -\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = -\frac{4}{27}.\)

Pozostało do zbadania ekstremum lokalne funkcji wymiernej \( g(x) := \frac{x^2 -4}{x^2 +1} \) w przedziale \( (-2, \ \ \infty)\) jeśli takie istnieją.

W tym celu obliczamy pochodną pierwszego rzędu funkcji \( g(x) \)

\( g'(x) = \frac{2x(x^2+1) -2x(x^2 -4)}{x^2 +1} = \frac{10x}{(x^2 +1)^2} \)

Pochodna funkcji \( g'(x) \) zmienia znak z wartości ujemnej na dodatnią w punkcie \( x_{3} = 0. \)

W tym punkcie funkcja ma minimum lokalne:

\( f_{min.lok.} = f(0) = \frac{0^2 -4}{ 0^2 +1} = -4.\)

Reasumując funkcja \( f(x) \) ma dwa minima lokalne \( f\left(\frac{-7}{3}\right) = -\frac{27}{4} \) i \( f(0) = -4. \)

[panb]

Funkcja \( f(x) = \begin{cases} x^3 + 8x^2 + 21x +18 \ \ \text{ gdy} \ \ x < -2 \\ \frac{x^2 -4}{x^2 +1} \ \ \text{gdy} \ \ x\geq -2 \end{cases} \)

Reasumując funkcja \( f(x) \) ma dwa minima lokalne \( f\left(\frac{-7}{3}\right) = -\frac{27}{4} \) i \( f(0) = -4. \)

Chyba jednak cztery ekstrema - w tym dwa minima. Dla \(x=-2\) jest ekstremum wynikające z warunku wystarczającego (pochodna zmienia znak).
Oto wykres:

[Jerry]

janusz55 chyba musisz się podszkolić w temacie ekstremów, bo piszesz bezsensownie. Na szczęście Januszgolenia otrzymał satysfakcjonującą odpowiedź wcześniej!

Pozdrawiam
PS. Zmień styl komentowania postów innych userów, np. możesz pisać "wg mnie nie istnieją ekstrema różniczkowalne". Wtedy będzie jasne, że to Twoje widzicisię

[janusz55]

Punkt\( -2 \) nie jest punktem istnienia ekstremum, bo wartość funkcji wymiernej \( f \) w tym punkcie jest równa zeru- jest to miejsce zerowe tej funkcji. Pierwsza pochodna funkcji wymiernej \( g(x) \) zmienia znak tylko w punkcie zero.

Tak samo punkt \( -3 \) nie jest punktem ekstremalnym wielomianu, jest to miejsce zerowe funkcji, w którym według Jerrego występuje maksimum lokalne. Nie występuje. Bo pierwsza pochodna nie zmienia znaku.

Styl poprawnego rozwiązania zadania nie powinien denerwować, przeciwnie rozwiązanie z błędami jest niedopuszczalne i denerwujące.

[Jerry]

Styl poprawnego rozwiązania zadania nie powinien denerwować, przeciwnie rozwiązanie z błędami jest niedopuszczalne i denerwujące.

I tu się z Tobą zgadzam! Ostrzegam!

[Januszgolenia]

Odp. w zbiorze:
\(f_{max}(-3)=0\)
\(f_{min}(- \frac{7}{3})=- \frac{4}{27}\)
\(f_{max}(-2)=0\)
\(f_{max}(0)=-4\)

[eresh]

Punkt\( -2 \) nie jest punktem istnienia ekstremum, bo wartość funkcji wymiernej \( f \) w tym punkcie jest równa zeru- jest to miejsce zerowe tej funkcji. Pierwsza pochodna funkcji wymiernej \( g(x) \) zmienia znak tylko w punkcie zero.

Tak samo punkt \( -3 \) nie jest punktem ekstremalnym wielomianu, jest to miejsce zerowe funkcji, w którym według Jerrego występuje maksimum lokalne. Nie występuje. Bo pierwsza pochodna nie zmienia znaku.

Styl poprawnego rozwiązania zadania nie powinien denerwować, przeciwnie rozwiązanie z błędami jest niedopuszczalne i denerwujące.

Według mnie (i z tego co widzę - nie tylko) mylisz się.
Dla \(x<-2\) mamy
\(f'(x)=3(x+3)(x+\frac{7}{3})\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, -3)\cup (-\frac{7}{3},-2)\\
f'(x)<0\iff x\in (-3,-\frac{7}{3})\)
jak widać znak pochodnej w \(x=-3\) się zmienia, więc jest tam ekstremum - konkretnie, tak jak napisał Jerry, oraz pokazał na wykresie panb, jest to maksiumum

Co do punktu \(x=-2\) - funkcja w tym punkcie nie jest różniczkowalna, ale ma ekstremum (bo jak wiadomo funkcja może mieć ekstrema w punktach w których nie istnieje pochodna).