Wykaż, że - liczby rzeczywiste

[agunia040]

Wykaż, że dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a^3 + b^3 + 8 \ge 6ab\)

[Jerry]

Z nierówności pomiędzy średnimi dla dodatnich \(a,b\) mamy:
\({a^3+b^3+8\over3}\ge\sqrt[3]{a^3\cdot b^3\cdot8}\)

Pozdrawiam

[agunia040]

Dziękuję.
Jednak nie rozumiem skąd tam się wzięły średnie i co mam z tym dalej zrobić...
Czy mogłabym prosić o dalsze rozwiązanie ?

[Jerry]

Ciąg dalszy:
\({a^3+b^3+8\over3}\ge\sqrt[3]{a^3\cdot b^3\cdot8}\\
{a^3+b^3+8\over3}\ge a\cdot b\cdot2\qquad |\cdot3\\
a^3+b^3+8\ge 6ab\)
CKD

Fakt: Dla liczb dodatnich \(a,b, c\) mamy nierówność:
\[{a+b+c\over3}\ge\sqrt[3]{abc}\]
i równość zachodzi dla \(a=b=c\)

Pozdrawiam
PS. Szukałem przyjaznego dowodu w sieci, ale są tylko takie

[agunia040]

Bardzo dziękuję !

Pozdrawiam serdecznie

[Panko]

Alternatywnie bez nierówności pomiędzy średnimi
Oznaczny \( W(x,y)= x^3+y^3-6xy+8 \)
Zauważamy ,że ( z pomocą narzędziowych liczydełek) \( W( x, -x-2)=0 \)
Czyli po podzieleniu jest \( W(x,y)=(y + x+2) ( x^2-xy-2x+y^2-2y+4) \)
Zwijamy jak trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej \( W(x,y)= (y+x+2) ( (x - \frac{y+2}{2})^2+ \frac{3}{4}(y-2)^2)
\)
Z powyższego widać ,że założenie o dodatniości \( x,y \) można wzmocnić .
Dla \( x+y+2\ge 0 \) jest \( W(x,y)\ge 0 \)