rozkład na czynniki

[Pawm32]

\(x^5+1=0\)

[eresh]

\(x^5+1=0\)

\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)

[Pawm32]

\(x^5+1=0\)

\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)

tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>

[eresh]

\(x^5+1=0\)

\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)

tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>

A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązać równanie?

[Pawm32]

\(x^5+1=0\\
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0\\
x+1=0\\
x=-1\)

tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>

A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązań równanie?

treść jest rozwiązać, ale zawsze miałem rozkładać do końca. Skąd wiadomo że ten drugi nawias nigdy nie będzie zerem>?
a ten przykład w takim razie może być tak
\(x^2_2x^4+1=0\)
\((x^4+1)^2=0\)
i tu już też widać że co by nie było x to zawsze będzie przynajmniej 1 więc zerem nie bedzie nigdy, tego też już nie rozłożę?

[panb]

\(x^5+1=0\)

Jeśli rozwiązanie ma być w liczbach rzeczywistych, to ja bym w ogóle nie rozkładał:
\(x^5+1=0 \iff x^5=-1 \iff x=-1\) i po sprawie.

[Pawm32]

tak umiem, ale jak rozłożyć to dalej?>

A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązań równanie?

treść jest rozwiązać, ale zawsze miałem rozkładać do końca. Skąd wiadomo że ten drugi nawias nigdy nie będzie zerem>?
a ten przykład w takim razie może być tak
\(x^2_2x^4+1=0\)
\((x^4+1)^2=0\)
i tu już też widać że co by nie było x to zawsze będzie przynajmniej 1 więc zerem nie bedzie nigdy, tego też już nie rozłożę?

tam miał być wieomian \(x^8+2x^4+1=0\)

[eresh]

A jaka jest treść zadania? Rozłożyć na czynniki, czy może po prostu rozwiązań równanie?

treść jest rozwiązać, ale zawsze miałem rozkładać do końca. Skąd wiadomo że ten drugi nawias nigdy nie będzie zerem>?
a ten przykład w takim razie może być tak
\(x^2_2x^4+1=0\)
\((x^4+1)^2=0\)
i tu już też widać że co by nie było x to zawsze będzie przynajmniej 1 więc zerem nie bedzie nigdy, tego też już nie rozłożę?

tam miał być wieomian \(x^8+2x^4+1=0\)

tak, wystarczy napisać, że \((x^4+1)^2>0\) dla każdego \(x\in\mathbb{R}\), więc równanie jest sprzeczne

[Pawm32]

a jak wyglądałby pełny rozkład na czynniki tego pierwszego wielomianu \(x^5+1\)

[eresh]

a jak wyglądałby pełny rozkład na czynniki tego pierwszego wielomianu \(x^5+1\)

tak jak napisałam

[Pawm32]

a jak wyglądałby pełny rozkład na czynniki tego pierwszego wielomianu \(x^5+1\)

tak jak napisałam

no ale tam jest \(x^4\), czyli powinien się dalej rozkładać

[panb]

No i się da, ale do rozwiązania równania nic to nie wnosi.
\[x^4-x^3+x^2-x+1= \frac{1}{4} (2x^2-(\sqrt5+1)x+2)(2x^2+(\sqrt5-1)x+2)\]


Jak to zrobić? Zapisać jako iloczyn dwóch trójmianów i wyznaczyć współczynniki rozwiązując układ równań.

[Panko]

Alternatywnie też i tak
przyjmuję , \( t=x+\frac{1}{x} \) wtedy \( x^2+\frac{1}{x^2} =t^2-2 \)
\( x^4-x^3+x^2-x+1= x^2( x^2-x+1-\frac{1}{x} +\frac{1}{x^2} )=\\ \qquad=x^2(t^2-2+1-t)=x^2( t^2-t-1)=x^2( t- \frac{\sqrt{5} +1}{2})(t- \frac{1-\sqrt{5}}{2} )\)
wracając do zmiennej x jest
\( x^4-x^3+x^2-x+1= x^2( t- \frac{\sqrt{5} +1}{2})(t- \frac{1-\sqrt{5}}{2} ) =\\ \qquad =x^2( \frac{2(x^2+1)-x( 1+\sqrt{5} )}{2x} )(\frac{2(x^2+1)+x(\sqrt{5}-1)}{2x} ) \)
i dostajemy żądany rozkład .