brak pierwiastków

[Pawm32]

Uzasadnij, że dany wielomian nie ma pierwisatków:\( x^4-3x^2+9\)

[Jerry]

Ponieważ
\(w(x)= x^4-3x^2+9= x^4+6x^2+9-9x^2=(x^2+3)^2-(3x)^2=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)\)
i trójmiany w nawiasach są nieprzywiedlne (\(\Delta<0\)), to teza jest prawdziwa.

Pozdrawiam

[Jerry]

Albo:
Ponieważ dla każdego \(x\in\rr\)
\(w(x)= x^4-3x^2+9= \left(x^4-2\cdot{3\over2}x^2+{9\over4}\right)+{27\over4}=\left(x^2-{3\over2}\right)^2+{27\over4}\ge{27\over4}>0\)
to teza jest prawdziwa.

Pozdrawiam