Nierówność trygonometryczna

[kamwik16]

Bardzo proszę o pomoc przy rozwiązaniu następującego zadania:
Wiedząc, że \( \alpha \) spełnia następujące nierówności
\(|\alpha_j|\le\alpha\le\frac{\pi}{2} \)
\( |\alpha_{j-1}|\le\alpha\le\frac{\pi}{2} \)
udowodnij, że prawdziwa jest nierówność:
\(\cos(2\alpha)\le\cos(\alpha_j-\alpha_{j-1})\).

[janusz55]

\( |\alpha_{j-1}| +|\alpha_{j} | \leq 2\alpha \leq \pi \)

\( \cos(\pi ) \leq \cos(2\alpha) \leq \cos(|\alpha_{j-1}| + |\alpha_{j}|) \leq \cos(\alpha_{j} -\alpha_{j-1}) \)

\( -1 \leq \cos(2\alpha) \leq \cos(|\alpha_{j-1}| + |\alpha_{j}|) \leq \cos(\alpha_{j} -\alpha_{j-1}). \)

Po lewej stronie mamy nierówność prawdziwą.

Proszę wykazać prawdziwość prawej strony nierówności, stosując wzór na kosinus sumy modułów dwóch argumentów i kosinus różnicy tych argumentów i wykorzystując parzystość funkcji kosinus \( cos(|\alpha_{j-1}|) = \cos(\alpha_{j-1}), \ \ cos(|\alpha_{j}|) = cos(\alpha_{j}) .\)

[kamwik16]

Udowadniając prawą stronę nierówności dochodzę do momentu:
\(-\sin(|\alpha_j|)\sin(|\alpha_{j-1}|)\le\sin\alpha_j\sin\alpha_{j-1}\).
Lewa strona tej nierówności jest zawsze ujemna, ale czy prawa jest zawsze dodatnia? Chyba nie i właśnie nie wiem jak dokończyć ten dowód

[janusz55]

Jest dodatnia lub równa lewej stronie , a oto nam chodziło.

[kamwik16]

Ok, teraz widzę Dzięki za pomoc!