Pochodna i parametr.

[Januszgolenia]

Zbadaj, czy istnieją takie wartości parametrów \(k, m\) (\(k,m \in\rr\)), dla których funkcja \(f\) jest różniczkowana w zbirze \(\rr\). Wyznacz \(f'\).
\(f(x)=\begin{cases}mx^2+(k+1)x&\mbox{ gdy }&x<-1\\kx^2-3mx&\mbox{ gdy }&x\geq -1\end{cases}\)

[eresh]

Zbadaj, czy istnieją takie wartości parametrów k, m (k,m należy do R), dla których funkcja f jest różniczkowana w zbirze R. Wyznacz \(f'\).
\(f(x)=\begin{cases}mx^2+(k+1)x\mbox{ gdy }x<-1\\kx^2-3mx\mbox{ gdy }x\geq -1\end{cases}\)

\(f(x)=\begin{cases}mx^2+(k+1)x\mbox{ gdy }x<-1\\kx^2-3mx\mbox{ gdy }x\geq -1\end{cases}\)

funkcja jest różniczkowalna w przedziałach \((-\infty, -1),(-1,\infty)\)

ciągłość w \(x=-1\)
\(\Lim_{x\to -1^-}(mx^2+(k+1)x)=m-k-1\\
\Lim_{x\to -1^+}(kx^2-3mx)=k+3m\\
m-k-1=k+3m\\
-2m-2k=1\\
m+k=\frac{-1}{2}\)


\(f'(-1^-)=\Lim_{h\to 0}\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h}=\Lim_{h\to 0}\frac{m(h^2-2h+1)+(k+1)(h-1)-k-3m}{h}=\Lim_{h\to 0}\frac{mh^2+h(-2m+k+1)-2m-2k-1}{h}=-2m+k+1\\
f'(-1^+)=\Lim_{h\to 0}\frac{k(h-1)^2-3m(h-1)-k-3m}{h}=-2k-3m\)
\(
\begin{cases}m+k=-0,5\\-2k-3m=-2m+k+1\end{cases}\\
m=k=-0,25\)