Wielomian 3

[Pawm32]

Wielomian \(W(x)=x^4-x^3-9x^2+ax+2\) jest podzielony przez wielomian \(P(x)=x^2+2x+b\). Oblicz a i b.

Próbowałem i dzielić i mnożyć tak jak we wcześniejszym zadaniu ale nic mi nie wychodzi, czyli albo tak się nie da, albo ja robię coś źle.

[radagast]

pracochłonne ale nietrudne:
zapisz w(x) jako iloczyn P(x) i wielomianu stopnia drugiego, wymnóż i porównaj wsółczynniki (ptrzymaz układ 4 równań z czterema niewiadomymi)
Pewnie można mieć jakiś pomysł ale jak sie nie ma to trzeba policzyć.

[Pawm32]

pracochłonne ale nietrudne:
zapisz w(x) jako iloczyn P(x) i wielomianu stopnia drugiego, wymnóż i porównaj wsółczynniki (ptrzymaz układ 4 równań z czterema niewiadomymi)
Pewnie można mieć jakiś pomysł ale jak sie nie ma to trzeba policzyć.

Tak liczyłem 2 razy i za żadnym nie wyszło, czyli coś gubię

[eresh]

Gdy podzielimy to otrzymamy:
\(x^4-x^3-9x^2+ax+2=(x^2+2x+b)(x^2-3x-(b+3))+x(a+5b+6)+2+b^2+3b\)

do rozwiązania układ
\(\begin{cases}a+5b+6=0\\b^2+3b+2=0\end{cases}\)

[Galen]

Można podzielić pisemnie
\((x^4-x^3-9x^2+ax+2):(x^2+2x+b)=x^2-3x+(-3-b)\;\;\;\;reszta\;\;\;\;R(x)=(a+5b+6)x+b^2+3b+2\)
Skoro mamy podzielność,to R(x)=0 dla każdej wartości x.
\(b^2+3b+2=0\;\;\;\;i\;\;\;\;\;a+5b+6=0\)
Z pierwszego równania liczysz
\(b_1=-2\\b_2=-1\)
Podstawiasz do
\(a=-5b-6\)
Obliczasz a.
Mój wynik:
\(a_1=4\\b_1=-2\\lub\\
a_2=-1\\b_2=-1\)