Trójmian kwadratowy z parametrem

[Januszgolenia]

Dany jest trójmian kwadratowy \(x^2+(2m+2)x+5m^3-m\).
a) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian ma dwa różne pierwiastki.
b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian ma dwa pierwiastki, z których jeden jest dodatni, a drugi mniejszy od -2.

[eresh]

Dany jest trójmian kwadratowy \(x^2+(2m+2)x+5m^3-m\).
a) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian ma dwa różne pierwiastki.

\(\Delta>0\\
(2m+2)^2-4(5m^3-m)>0\\
m^2+2m+1-5m^3+m>0\\
-5m^3+m^2+3m+1>0\\
(-m+1)(5m^2+4m+1)>0\\
-m+1>0\\
-m>-1\\
m<1\\\)

[eresh]

Dany jest trójmian kwadratowy \(x^2+(2m+2)x+5m^3-m\).

b) Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których trójmian ma dwa pierwiastki, z których jeden jest dodatni, a drugi mniejszy od -2.

\(f(x)=x^2+(2m+2)x+5m^3-m\\
\Delta>0\\
f(-2)<0\\
f(0)<0\\
\)

\(\Delta>0\\
m\in (-\infty,1)\)

\(f(-2)=4-2(2m+2)+5m^3-m\\
4-4m-4+5m^3-m<0\\
5m^3-5m<0\\
5m(m^2-1)<0\\
5m(m-1)(m+1)<0\\
m\in (-\infty,-1)\cup (0,1)\)

\(f(0)<0\\
5m^3-m<0\\
m(5m^2-1)<0\\
m(\sqrt{5}m-1)(\sqrt{5}m+1)<0\\
m\in(-\infty, -\frac{\sqrt{5}}{5})\cup (0,\frac{\sqrt{5}}{5})\)

Odpowiedź: \(m\in(-\infty, -1)\cup (0,\frac{\sqrt{5}}{5})\)

[Januszgolenia]

Ni rozumiem dlaczego f(-2)<0 i f(0)<0 skoro f(x1)>0 i f(x2)<-2.

[eresh]

Ni rozumiem dlaczego f(-2)<0 i f(0)<0 skoro f(x1)>0 i f(x2)<-2.

Nieprawda, \(x_1, x_2\) są miejscami zerowymi, więc \(f(x_1)=f(x_2)=0\)
narysuj parabolę o ramionach w górę, dwóch miejscach zerowych \(x_1<0,x_2>-2\) i zobacz jakie funkcja przyjmie w tych punktach wartości (dodatnie/ujemne)