parametr

[aramila]

Zad 1
Dla jakich wartości parametru \(k\) rozwiązaniem układu jest para liczb dodatnich?
\(\begin{cases}x+2y=1\\
2x+y=k\end{cases}\)
Zad 2
Dla jakich wartości parametru \(a\) rozwiązaniem układu jest para liczb \(( x,y)\) spełniająca warunek \(2x-y=2\)
\(\begin{cases}-x+y=a\\2x-5y=4\end{cases}\)
Zad3
Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru \( m\)
a) \(|x|-|x-1|= 3-m\)
b) \(\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-6x+9}=2m\)
Zad 4
Dla jakich wartości parametru m równanie \(|x-1|= m+2\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków

[eresh]

Zad 1
Dla jakich wartości parametru k rozwiązaniem układu jest para liczb dodatnich?
\(\begin{cases}x+2y=1\\
2x+y=k\end{cases}\)

\(\begin{cases}x+2y=1\\
2x+y=k\end{cases}\\
\begin{cases}x=1-2y\\2-4y+y=k\end{cases}\\
\begin{cases}y=\frac{2-k}{3}\\x=\frac{2k-1}{3}\end{cases}\)

\(\frac{2-k}{3}>0\;\;\wedge\;\;\frac{2k-1}{3}>0\\
2-k>0\;\;\wedge\;\;2k-1>0\\
k<2\;\;\wedge\;\;k>\frac{1}{2}\\
k\in (\frac{1}{2},2)\)

[eresh]

Zad 1

Zad 2
Dla jakich wartości parametru a rozwiązaniem układu jest para liczb ( x,y) spełniająca warunek \(2x-y=2\)
\(\begin{cases}-x+y=a\\
2x-5y=4\end{cases}
\)

\(\begin{cases}-x+y=a\\
2x-5y=4\end{cases}\\
\begin{cases}y=x+a\\ 2x-5(x+a)=4\end{cases}\\
\begin{cases}y=x+a\\ 2x-5x-5a=4\end{cases}\\
\begin{cases}y=x+a\\ -3x=4+5a\end{cases}\\
\begin{cases}x=-\frac{4+5a}{3}\\y=\frac{-4-5a}{3}+a\end{cases}\\
\)

\(2x-y=2\\
2\cdot\frac{-4-5a}{3}-\frac{-4-5a}{3}-a=2\\
\frac{-8-10a}{3}+\frac{4+5a}{3}-\frac{3a}{3}=2\\
\frac{-4-8a}{3}=2\\
-4-8a=6\\
-8a=10\\
a=\frac{-5}{4}
\)

[eresh]

Zad3
Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m
a) \(|x|-|x-1|= 3-m\)
b) \(\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-6x+9}=2m\)

a)
\(f(x)=|x|-|x-1|\\
f(x)=\begin{cases}1\mbox{ dla }x\geq 1\\2x-1\mbox{ dla }x\in [0,1)\\-1\mbox{ dla }x<0\end{cases}\)

równanie nie ma rozwiązań gdy
\(3-m>1\;\;\vee\;\;3-m<-1\\
-m>-2\;\;\vee\;\;-m<-4\\
m<2\;\;\vee\;\;m>4\\
m\in (-\infty, 2)\cup (4,\infty)\)

równanie ma jedno rozwiązanie gdy
\(-1<3-m<1\\
-4<-m<-2\\
2<m<4\)

równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań gdy
\(3-m=1\;\;\vee\;\;3-m=-1\\
m=4\;\;\vee\;\;m=2\)

[eresh]

Zad3
Określ liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m

b) \(\sqrt{x^2} + \sqrt{x^2-6x+9}=2m\)

\(f(x)=|x|+|x-3|\\
f(x)=\begin{cases}2x-3\mbox{ dla }x\geq 3\\ 3\mbox{ dla }0\leq x<3\\-2x+3\mbox{ dla}x<0\end{cases}\)

równanie nie ma rozwiązań dla \(2m<3\So m<\frac{3}{2}\\\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań dla \(2m=3\So m=\frac{3}{2}\)
ma dwa rozwiązania dla \(2m>3\So m>\frac{3}{2}\)

[eresh]

Zad 4
Dla jakich wartości parametru m równanie \(|x-1|= m+2\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków

\(f(x)=|x-1|\)

\(m+2>1\\
m>-1\)