Reszta z dzielenia

[aramila]

Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(a\) przez \(6\) jest równa \(1\). Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(b\) przez \(6\) jest równa \(5\). Uzasadnij, że liczba \(a^2-b^2\) dzieli się przez \(24\)

[eresh]

Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(a\) przez \(6\) jest równa \(1\). Reszta z dzielenia liczby naturalnej \(b\) przez \(6\) jest równa \(5\). Uzasadnij, że liczba \(a^2-b^2\) dzieli się przez \(24\)

\(a=6n+1\\
b=6k+5\\
n,k\in\mathbb{N}\\
a^2-b^2=(6n+1)^2-(6k+5)^2=(6n+1+6k+5)(6n+1-6k-5)=6(n+k+1)(6n-6k-4)=\\=12(n+k+1)(3n-3k-2)\)

wystarczy pokazać, że \((n+k+1)(3(n-k)-2)\) jest parzyste
jeśli \(n,k\) są parzyste to \((3(n-k)-2)\) jest parzysta
jeśli \(n,k\) są nieparzyste to \((3(n-k)-2)\) jest parzysta
jeśli jedna jest parzysta, a druga nieparzysta to \((n+k+1)\) jest parzysta
czyli \((n+k+1)(3n-3k-2)=2p, p\in\mathbb{N}\) oraz \(a^2-b^2=12\cdot 2p=24p\)