Równanie z wartością bezwzględną

[Pawm32]

Dane jest równanie z niewiadomą x. Przeprowadź dyskusje liczby jego rozwiązań w zależności od wartości parametru p, \(p \in \rr \). Następnie podaj wzór funkcji f, która każdej liczbie rzeczywistej p przyporządkowuje liczbę rozwiązań tego równania.
a) \( ||x+2|-3|-4=p \)

[radagast]

Narysuj wykres funkcji \(f(x)= ||x+2|-3|-4 \)

[Pawm32]

Narysuj wykres funkcji \(f(x)= ||x+2|-3|-4 \)

mam ale nic na nim nie widzę

[Pawm32]

Narysuj wykres funkcji \(f(x)= ||x+2|-3|-4 \)

mam ale nic na nim nie widzę

nie wiem na co mam patrzeć, w książce nie ma przykładu, na lekcji nikt nie wspominał

[Jerry]

nie wiem na co mam patrzeć

Dorysuj kilka wykresów np. \(y=-5,\ y=-4,\ y=-2,\ y=-1, y=1,\cdots \) i przeanalizuj liczbę punktów wspólnych wykresu i "poziomej linii"

Pozdrawiam

[eresh]

rysujemy proste równoległe do osi OX i sprawdzamy w ilu miejscach przetną wykres
\(y=-4\) przetnie wykres w dwóch punktach - mamy dwa rozwiązania
\(y=-10\) nie przetnie wykresu - brak rozwiązań

równanie \(f(x)=p\) ma:
0 rozwiązań dla \(p<-4\)
2 rozwiązania dla \(p>-1\) oraz \(p=-4\)
3 rozwiązania dla \(p=-1\)
4 rozwiązania dla \(p\in (-4,-1)\)

\(g(p)=\begin{cases}0\mbox{ dla }p\in (-\infty,-4)\\2\mbox{ dla }p\in (-1,\infty)\cup\{-4\}\\3\mbox{ dla }p=-1\\4\mbox{ dla }p\in (-4,-1)\end{cases}\)

[Galen]

Jeśli masz wykres,to szkicuj kolejno proste poziome \(y=p\) i obserwuj liczbę punktów wspólnych wykresu y=f(x) z y=p.
Najniższe punkty wykresu -5;-4) i (1;-4)
Punkt załamania pod osią OX to (-2;-1)
Miejsca zerowe x=-9 oraz x=5
Powyżej osi OX jest część wykresu nad przedziałami \((-\infty;-9) \;\;\;i\;\;\;\; (5;+\infty)\)
Prosta \(y=p \)nie ma punktów wspólnych z wykresem \(y=f(x)\) dla p<-4
ma dwa punkty wspólne z y=f(x) dla \( p=-4 \;\;\;\;\;oraz\;\;\;p> -1\)
trzy punkty wspólne dla p=-1
cztery punkty wspólne dla \(p\in (-4;-1)\)
Można to zapisać w postaci funkcji g(p) wyrażającej liczbę rozwiązań równania
\(||x+2|-3|-4=p\)
\(g(p)= \begin{cases} 0\;\;\;\;dla\;\;\;\;p<-4\\2\;\;\;\;dla\;\;\;\;p=-4\;\;\;oraz\;\;\;p>-1\\3\;\;\;\;\;dla\;\;p=-1\\4\;\;\;dla\;\;\;p\in(-4;-1)\end{cases}\)