Dowód nierówność

[maurycy_matematyk]

Udowodnij prawdziwość poniższej nierówności (z nierówności o średnich).
\[\frac{a}{b} + \frac{b}{c}+ \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \ge 4\]

[grdv10]

Brakuje Ci pewnego ważnego założenia. Co np. gdy \(a=-1, b=1, c=-1, d=1\)?

Przecież to bezpośrednie zastosowanie tej nierówności... Wyszukaj nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną.

[maurycy_matematyk]

Oczywiście jest założenie że liczby są naturalne. Dlaczego uważasz, że to bezpośrednie zastosowanie tej nierówności?

[panb]

Oczywiście jest założenie że liczby są naturalne. Dlaczego uważasz, że to bezpośrednie zastosowanie tej nierówności?

Ma rację.
\[ \frac{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} }{4} \ge \sqrt[4]{ \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{d}{a} } \]

[Galen]

Mnożysz obustronnie nierówność przez wspólny mianownik...abcd
\(a^2cd+a b^2d+abc^2+bcd^2\ge 4abcd\)
Średnia arytmetyczna wyrazów lewej strony\(\;\ge\;\) od ich średniej geometrycznej.
\(\frac{a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc}{4} \ge \sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}\\
\frac{a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc}{4} \ge abcd\)
Uzyskana nierówność jest prawdziwa i jednocześnie równoważna otrzymanej po wymnożeniu wyjściowej przez wspólny mianownik.
Stąd wniosek,że nierówność wyjściowa jest prawdziwa.

Możesz teraz wrócić do wyjściowej (Nie jest to konieczne,ale podpowie jak szukać sposobu na dowód niektórych nierówności)
Mnożysz obie str. przez 4
\(a^2cd+b^2ad+c^2ab+d^2bc \ge 4 a b c d\;/:(abcd)\\
\frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{d}+ \frac{d}{a} \ge 4\)

[grdv10]

Oczywiście jest założenie że liczby są naturalne. Dlaczego uważasz, że to bezpośrednie zastosowanie tej nierówności?

Wystarczy założyć, że \(a,b,c,d>0\). Założenie, że są to liczby naturalne, jest przewagą formy nad treścią.

Nierówność między średnimi arytmetyczną i geometryczną wynika z wypukłości funkcji wykładniczej oraz z nierówności Jensena. Można też bez odwoływania się do funkcji wypukłych łatwo udowodnić tę nierówność dla dwóch składników, a następnie przez indukcję dostać ją dla \(n\) składników.