Oblicz granice

[Januszgolenia]

a)\( \Lim_{x\to1 } \frac{ \sqrt[3]{2x-1}-1 }{x-1} \)
b)\( \Lim_{x\to3 } \frac{ \sqrt[3]{1-3x}+2 }{x-3} \)

[eresh]

a)\( \Lim_{x\to1 } \frac{ \sqrt[3]{2x-1}-1 }{x-1} \)

a)\( \Lim_{x\to1 } \frac{ \sqrt[3]{2x-1}-1 }{x-1} =\Lim_{x\to 1}\frac{2x-1-1}{(\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1)(x-1)}=\Lim_{x\to 1}\frac{2(x-1)}{(\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1)(x-1)}=\Lim_{x\to 1}\frac{2}{\sqrt[3]{(2x-1)^2}+\sqrt[3]{2x-1}+1)}=\frac{2}{3}\)

[eresh]

b)\( \Lim_{x\to3 } \frac{ \sqrt[3]{1-3x}+2 }{x-3} \)

\( \Lim_{x\to3 } \frac{ \sqrt[3]{1-3x}+2 }{x-3}=\Lim_{x\to 3}\frac{1-3x+8}{(\sqrt[3]{(1-3x)^2}-2\sqrt[3]{1-3x}+4)(x-3)}=\Lim_{x\to 3}\frac{-3(x-3)}{(\sqrt[3]{(1-3x)^2}-2\sqrt[3]{1-3x}+4)(x-3)} =\Lim_{x\to 3}\frac{-3}{(\sqrt[3]{(1-3x)^2}-2\sqrt[3]{1-3x}+4)}=\frac{-3}{4+4+4}=-\frac{1}{4}\)

[eresh]

korzystałam ze wzoru:

\(a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)\\
a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}\\
a-b=\frac{a^3-b^2}{a^2+ab+b^2}\)