Wykazanie, że nie istnieje granica funkcji w punkcie x_0

[Januszgolenia]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
a)\(f(x)= \frac{Ix-6I}{x-6}, x_0=6\)
b)\(f(x)= \frac{x+7}{Ix+7I}, x_0=-7\)
c)\(f(x)= \frac{x^2-4IxI}{2x}, x_0=0\)
d)\(f(x)= \frac{ \sqrt{x}-2 }{Ix-4I} x_0=4\)
e)\(f(x)= \frac{Ix^2+3x+2I}{x^2-1} x_0=-1\)
f)\(f(x)= \frac{ \sqrt{x+5}-1 }{Ix+4I}, x_0=-4\)

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
a)\(f(x)= \frac{Ix-6I}{x-6}, x_0=6\)

\(a_n=\frac{1}{n}+6\\
b_n=-\frac{1}{n}+6\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}b_n=6\\
f(a_n)=\frac{|\frac{1}{n}+6-6|}{\frac{1}{n}+6-6}=\frac{|\frac{1}{n}|}{\frac{1}{n}}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=1\\\)
\(f(b_n)=\frac{|-\frac{1}{n}+6-6|}{-\frac{1}{n}+6-6}=\frac{|-\frac{1}{n}|}{-\frac{1}{n}}=\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{1}{n}}=-1\\
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=-1\\\)

[radagast]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
a)\(f(x)= \frac{Ix-6I}{x-6}, x_0=6\)

\(a_n=\frac{1}{n}+1\\
b_n=-\frac{1}{n}+1\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}b_n=6\\
f(a_n)=\frac{|\frac{1}{n}+1-6|}{\frac{1}{n}+1-6}=\frac{|\frac{1}{n}-5|}{\frac{1}{n}-5}=\frac{5-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+5}=-1\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=-1\\
f(b_n)=\frac{|-\frac{1}{n}+1-6|}{\frac{1}{n}+1-6}=\frac{|-\frac{1}{n}-5|}{\frac{1}{n}-5}=\frac{5+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+5}=1\\
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=1\\
\)

powinno być
\(a_n=\frac{1}{n}+6\\
b_n=-\frac{1}{n}+6\), granica tych ciągów ma być równa 6
a poza tym \( \Lim_{n\to \infty }\frac{5-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+5}=1 \), a nie -1 (ta funkcja jest ciągła w 1)

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:

c)\(f(x)= \frac{x^2-4IxI}{2x}, x_0=0\)

\(a_n=\frac{1}{n}\\
b_n=-\frac{1}{n}\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}b_n=0\\
f(a_n)=\frac{\frac{1}{n^2}-4\cdot\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\frac{1+4n}{2n}
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=2\\
f(b_n)=\frac{\frac{1}{n^2}-4\cdot\frac{1}{n}}{\frac{-2}{n}}=\frac{1+4n}{-2n}
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=-2\\
\)

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
d)\(f(x)= \frac{ \sqrt{x}-2 }{Ix-4I} x_0=4\)

\(a_n=(2+\frac{1}{n})^2\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=4\\
b_n=(2-\frac{1}{n})^2\\
\Lim_{n\to\infty}b_n=4\\
f(a_n)=\frac{\sqrt{(2+\frac{1}{n})^2}-2}{|(2+\frac{1}{n})^2-4|}=\frac{|2+\frac{1}{n}|-2}{|4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}-4|}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{n}{1+4n}\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=\frac{1}{4}\\
f(b_n)=\frac{\sqrt{(2-\frac{1}{n})^2}-2}{|(2-\frac{1}{n})^2-4|}=\frac{|2-\frac{1}{n}|-2}{|4-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}-4|}=\frac{\frac{1}{n}}{-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{n}{1-4n}\\
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=-\frac{1}{4}\\
\)

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
e)\(f(x)= \frac{Ix^2+3x+2I}{x^2-1} x_0=-1\)

\(f(x)=\frac{|(x+1)(x+2)|}{x^2-1}\)


\(a_n=\frac{1}{n}-1\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=-1\\
b_n=-\frac{1}{n}-1\\
\Lim_{n\to\infty}b_n=-1\\
f(a_n)=\frac{|(\frac{1}{n}-1+1)(\frac{1}{n}-1+2)|}{\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n}+1-1}=\frac{\frac{1}{n}(\frac{1}{n}+1)}{\frac{1-2n}{n^2}}=\frac{1+n}{1-2n}\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=-\frac{1}{2}\\
f(b_n)=\frac{|(-\frac{1}{n}-1+1)(-\frac{1}{n}-1+2)|}{\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n}+1-1}=\frac{\frac{1}{n}(-\frac{1}{n}+1)}{\frac{1+2n}{n^2}}=\frac{-1+n}{1+2n}
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=\frac{1}{2}\\
\)

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
f)\(f(x)= \frac{ \sqrt{x+5}-1 }{Ix+4I}, x_0=-4\)

\(a_n=\frac{1}{n}-4\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=-4\\
b_n=-\frac{1}{n}-4\\
\Lim_{n\to\infty}b_n=-4\\
f(a_n)=\frac{ \sqrt{\frac{1}{n}-4+5}-1 }{|\frac{1}{n}-4+4|}=\frac{\sqrt{\frac{1}{n}+1}-1}{\frac{1}{n}}=n(\sqrt{\frac{1}{n}+1}-1)=\sqrt{n+n^2}-n=\frac{n+n^2-n^2}{\sqrt{n+n^2}+n}=\frac{n}{\sqrt{n+n^2}+n}\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=\frac{1}{2}\\
f(b_n)=\frac{ \sqrt{-\frac{1}{n}-4+5}-1 }{|-\frac{1}{n}-4+4|}=\frac{\sqrt{-\frac{1}{n}+1}-1}{\frac{1}{n}}=n(\sqrt{-\frac{1}{n}+1}-1)=\sqrt{-n+n^2}-n=\frac{-n+n^2-n^2}{\sqrt{-n+n^2}+n}=\frac{-n}{\sqrt{-n+n^2}+n}\\
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=-\frac{1}{2}\\
\)

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:
a)\(f(x)= \frac{Ix-6I}{x-6}, x_0=6\)

\(a_n=\frac{1}{n}+1\\
b_n=-\frac{1}{n}+1\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}b_n=6\\
f(a_n)=\frac{|\frac{1}{n}+1-6|}{\frac{1}{n}+1-6}=\frac{|\frac{1}{n}-5|}{\frac{1}{n}-5}=\frac{5-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+5}=-1\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=-1\\
f(b_n)=\frac{|-\frac{1}{n}+1-6|}{\frac{1}{n}+1-6}=\frac{|-\frac{1}{n}-5|}{\frac{1}{n}-5}=\frac{5+\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+5}=1\\
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=1\\
\)

powinno być
\(a_n=\frac{1}{n}+6\\
b_n=-\frac{1}{n}+6\), granica tych ciągów ma być równa 6

zgadza się, już poprawiam

[eresh]

Wskaż dwa ciagi (a_n) i (b_n), dla których lim a_n=lim b_n=x_0 oraz lim f(a_n) jest różny od lim f(b_n), i na tej podstawie wykaż, że nie istnieje granica funkcji f w punkcie x_0 jeśli:

b)\(f(x)= \frac{x+7}{Ix+7I}, x_0=-7\)

\(a_n=\frac{1}{n}-7\\
b_n=-\frac{1}{n}-7\\
\Lim_{n\to\infty}a_n=\Lim_{n\to\infty}b_n=-7\\
f(a_n)=\frac{\frac{1}{n}-7+7}{|\frac{1}{n}-7+7|}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=1\\
\Lim_{n\to\infty}f(a_n)=1\\\)
\(f(b_n)=\frac{-\frac{1}{n}-7+7}{|-\frac{1}{n}-7+7|}=\frac{-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=-1\\
\Lim_{n\to\infty}f(b_n)=-1\\\)