RównanieKwadratowe-wykładnicze z parametrem.

[Januszgolenia]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ( \(m \in R\)), dla których równanie \(m16^x+(2m-1)4^x+2-3m=0\) nie ma rozwiązań.

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ( \(m \in R\)), dla których równanie \(m16^x+(2m-1)4^x+2-3m=0\) nie ma rozwiązań.

\((4^x)^2m+(2m-1)4^x+2-3m=0\)

I. dla \(m=0\)
\(-4^x+2=0\)
równanie ma rozwiązanie


II, \(m\neq 0\)
\(4^x=t, t>0\)
\(t^2m+(2m-1)t+2-3m=0
\)

\(\Delta = 4m^2-4m+1-8m+12m^2=16m^2-12m+1\)

A. \(\Delta \geq 0\;\; \wedge \;\;t_1t_2\geq 0\;\;\wedge\;\;t_1+t_2\leq 0\\\)
\(m\in (-\infty, \frac{3-\sqrt{5}}{8}]\cup [\frac{3+\sqrt{5}}{8},\infty)\;\;\wedge\;\;m\leq\frac{2}{3}\;\;\;\wedge\;\;m\geq \frac{1}{2}\\
m\in [\frac{3+\sqrt{5}}{8}, \frac{2}{3}]
\)
B. \(\Delta<0\)
\(m\in (\frac{3-\sqrt{5}}{8},\frac{3+\sqrt{5}}{8})\)
bierzemy sumę rozwiązań z A i B:
\(m\in (\frac{3-\sqrt{5}}{8},\frac{2}{3}]\)