Równanie wykładniczo-logarytmiczne

[Januszgolenia]

\(5^{log_2{x}}-3^{log_2{x}-1}=3^{log_2{x}+1}-5^{log_2{x}-1}\)
\({0,4}^{log_3{ \frac{3}{x}}-log_3{3x}}={6,25}^{log_3{x^2}+2}\)

[kerajs]

\(5^{log_2{x}}-3^{log_2{x}-1}=3^{log_2{x}+1}-5^{log_2{x}-1}\)
\(x^{log_2{5}}-\frac13 x^{log_2{3}}=3x^{log_2{3}}-\frac15x^{log_2{5}}\)
\(\frac65 x^{log_2{5}}=\frac{10}{3}x^{log_2{3}}\)
\( x^{\log_2{5}-log_23}=\frac{25}{9}\)
\(x=(\frac53)^{\frac{2}{\log_2\frac53}}\\
x=(\frac53^{\log_{\frac53}2 })^2\\
x=4\)

Pewnie że można przyjemniej:
\(5^{log_2{x}}-3^{log_2{x}-1}=3^{log_2{x}+1}-5^{log_2{x}-1}\)
\(\frac65 5^{log_2{x}}=\frac{10}{3}3^{log_2{x}}\)
\((\frac53)^{log_2{x}}=\frac{25}{9}\\
\log_2x=2\\
x=4\)




\({0,4}^{\log_3{ \frac{3}{x}}-\log_3{3x}}={6,25}^{\log_3{x^2}+2}\)
\((\frac{2}{5})^{\log_3{ \frac{3}{x}}-\log_3{3x}}=(\frac{25}{4})^{\log_3{x^2}+2}\)
\((\frac{5}{2})^{-\log_3{ \frac{3}{x}}+\log_3{3x}}=(\frac{5}{2})^{2\log_3{x^2}+4}\)
\(-\log_3 3+\log_3x+\log_3 3 +\log_3{x}=4\log_3{x}+4 \\
\log_3x=-2\\
x=\frac19\)

[Galen]

Można również zastosować zmienną pomocniczą.
\(t=log_2x\)
Równanie ma postać
\(5^t+\frac{5^t}{5}=3\cdot 3^t+\frac{3^t}{3}\\\frac{6}{5}\cdot 5^t=\frac{10}{3}\cdot 3^t/\;\;\cdot \frac{3}{10}\\\frac{18}{50}\cdot5^t=3^t/:5^t\\\frac{9}{25}=(\frac{3}{5})^t\\t=2\\log_2x=2\\x=2^2\\x=4\)

W drugim warto podstawić
\(log_3x=t\)
Dostaniesz równanie wykładnicze i postępujesz zgodnie z działaniami na potęgach...