logarytmy dziedzina

[Amtematiksonn]

Określ dziedzinę funkcji: \(f(x) = \sqrt{log_2(log_ \frac{1}{3}(x+1)) }\)

[Sciurius]

1. \(x+1>0\)
2. \(log_2 (log _ \frac{1}{3} (x+1) )>0\)
\(log_2 (log _ \frac{1}{3} (x+1) )>0\)
\(log _ \frac{1}{3} (x+1) >1\)
\(x+1<\frac{1}{3} \)
\(x<-\frac{2}{3} \)
\(x>-1\) i \(x<-\frac{2}{3} \)
\(x\in (-1;-\frac{2}{3} )\)
Odp. \(D=(-1;-\frac{2}{3} )\)

[Amtematiksonn]

Mógłbyś mi wytłumaczyć to przejście?
\(log_2 (log _ \frac{1}{3} (x+1) )>0\)
\(log _ \frac{1}{3} (x+1) >1\)

[Sciurius]

Jasne:
\(log_2 t \) jest funkcją rosnącą dla każdego \(t\in \rr _+\) oraz \(log_2 1 = 0\)
zatem \(log_2 t > 0\)
\(log_2 t >log_2 1\)
\(t>1\)
Oczywiście w tym przypadku \(t=log_ \frac{1}{3} (x+1) \)
\(log_ \frac{1}{3} (x+1) > 1\) rozwiązujemy analogicznie z tym że \(log_ \frac{1}{3} (x+1)\) jest funkcją malejącą więc obracamy znak

[Amtematiksonn]

Racja, dziękuję bardzo za pomoc

[Sciurius]

Dzięki Jerry za zauważenie
Mała poprawka zamiast:

2. \(log_2 (log _ \frac{1}{3} (x+1) )>0\)

Powinno być oczywiście
2. \(log_2 (log _ \frac{1}{3} (x+1) ) \ge 0\)
zmienia to potem znaczki i dziedzina ostatecznie wychodzi:
\((-1;- \frac{2}{3} ] \)