Minimum prostopadłościan

[Naitsyrk]

Rozważamy prostopadłościany o objętosci \(V = {9\over5}\) w których stosunek długości dwóch sąsiadujących krawędzi podstawy jest równy \(2\ \colon3\). Wyznacz wymiary tego z rozwazanych prostopadloscianow ktorego pole calkowite jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole

[eresh]

\(2x\cdot 3x\cdot H=\frac{9}{5}\\
x^2H=\frac{3}{10}\\
H=\frac{3}{10x^2}\\
x>0\)


\(P=2\cdot 2x\cdot 3x+2\cdot 2x\cdot H+2\cdot 3x\cdot H\\
P=12x^2+4xH+6xH\\
P=12x^2+10xH\\
P(x)=12x^2+10x\cdot\frac{3}{10x^2}\\
P(x)=12x^2+\frac{3}{x}\\
P'(x)=24x-\frac{3}{x^2}\\
P'(x)=\frac{24x^3-3}{x^2}=\frac{3(8x^3-1)}{x^2}\\
x>0\\
P'(x)>0\iff x\in (\frac{1}{2},\infty)\\
P'(x)<0\iff x\in (0,\frac{1}{2})\\
P_{\min}=P(\frac{1}{2})\)