Wyrażenie algebraiczne

[Znany]

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność: \(x^4 + 4y^4 + 20 \ge 16xy\)

[Jerry]

\(1^\circ\ (2xy-4)^2+4>0\)
\(2^\circ\ \frac{x^4+4y^4}{2}\ge\sqrt{x^4\cdot 4y^4}\iff x^4+4y^4\ge 4x^2y^2\)
i równość zachodzi dla \(x^4=4y^4\)

Dodaj te nierówności stronami - uzyskasz prawie tezę, prawie, bo nierówność jest ostra

Pozdrawiam

[edited} poprawka na "nierówności"

[kerajs]

\(x^4 + 4y^4 + 20 -16xy \ge 0\)

1)
\(x^4+4y^4+20-16xy=(x^2-2y^2)^2+4x^2y^2-16xy+20=\\=(x^2-2y^2)^2+4(xy-2)^2+4 \ge 4>0\)

2)
\(x^4 + 4y^4 + 20 -16xy=2 \cdot \frac{x^4+4}{2}+ 2 \cdot \frac{4y^4+16}{2}-16xy \ge 2 \sqrt{x^4 \cdot 4} + 2 \sqrt{4y^4 \cdot 16} -16xy=\\=4 \left( x^2+4y^2-4xy\right) =4(x-2y)^2 \ge 0\)

3)
Można zbadać funkcję \(f(x,y)=x^4 + 4y^4 + 20 -16xy \)
z warunku koniecznego:
\( \begin{cases} 4x^3-16y=0 \\ 16y^3-16x \end{cases} \)
podejrzane o ekstremum są punkty: \(P_1=(0,0) \ , \ P_2=( - \sqrt[4]{8},- \sqrt[4]{2}) \ , \ P_3=( \sqrt[4]{8}, \sqrt[4]{2}) \)
jednak tylko w drugim i trzecim jest minimum
\(f_{min}=f(P_2)=f(P_3)=4\)