Dowodzenie logarytmów.

[Januszgolenia]

Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja f określona wzorem: \(f(x)=(log_3{x})^2\)jest malejąca w zbiorze (0,1).

[eresh]

\(x_1\in (0,1)\\
x_2\in (0,1)\\
x_1<x_2\\
f(x_1)-f(x_2)=\log_3^2x_1-\log_3^2x_2=(\log_3x_1+\log_3x_2)(\log_3x_1-\log_3x_2)=\log_3(x_1x_2)\cdot\log_3\frac{x_1}{x_2}\)

\(x_1x_2\in (0,1)\So \log_3x_1x_2<0\\
0<\frac{x_1}{x_2}<1\So \log_3\frac{x_1}{x_2}<0\)

zatem
\(f(x_1)-f(x_2)>0\)
czyli funkcja jest malejąca w przedziale (0,1)