Dowodzenie logarytmów.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Januszgolenia
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Dowodzenie logarytmów.
Wykaż, na podstawie definicji, że funkcja f określona wzorem \(f(x)=(\log_2{x})^2\) jest rosnąca w zbiorze \((1,+ \infty )\).
Ostatnio zmieniony 12 kwie 2020, 09:40 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: poprawa kodu
Powód: poprawa kodu
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Dowodzenie logarytmów.
Niech \(1<x_1<x_2\)
Sprawdzam znak różnicy:
\(f(x_2)-f(x_1)=(\log_2x_2)^2-(\log_2x_1)^2=(\log_2x_2-\log_2x_1)(\log_2x_2+\log_2x_1)=\\=\log_2\frac{x_2}{x_1}\log_2x_1x=...\)
ponieważ : \(\log_2x_2x_1>log_21 \cdot 1>0\)
oraz \(\log_2\frac{x_2}{x_1} > \log_21>0\) to:
\( ...=\log_2\frac{x_2}{x_1}\log_2x_1x>0\) dla każdej pary argumentów z założenia. Konkluzja: f(x) jest rosnąca dla \(x \in \left(1, \infty \right) \)
Sprawdzam znak różnicy:
\(f(x_2)-f(x_1)=(\log_2x_2)^2-(\log_2x_1)^2=(\log_2x_2-\log_2x_1)(\log_2x_2+\log_2x_1)=\\=\log_2\frac{x_2}{x_1}\log_2x_1x=...\)
ponieważ : \(\log_2x_2x_1>log_21 \cdot 1>0\)
oraz \(\log_2\frac{x_2}{x_1} > \log_21>0\) to:
\( ...=\log_2\frac{x_2}{x_1}\log_2x_1x>0\) dla każdej pary argumentów z założenia. Konkluzja: f(x) jest rosnąca dla \(x \in \left(1, \infty \right) \)