Wykaż

[Pawm32]

Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierowność
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)}\)
I tak widziałem tu już rozwiązanie tego lecz tam jest kwadrat sumy trzech liczb tego jeszcze nie było więc nie wiem czy nauczyciel nie będzie miał jakiś wątpliwości, czy da to się rozwiązać jeszcze jakoś inaczej?

[eresh]

Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierowność
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)}\)
I tak widziałem tu już rozwiązanie tego lecz tam jest kwadrat sumy trzech liczb tego jeszcze nie było więc nie wiem czy nauczyciel nie będzie miał jakiś wątpliwości, czy da to się rozwiązać jeszcze jakoś inaczej?

\(
(a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\\
(a+b-1)^2\geq 0
\)
pewnie chodzi o ten moment

\((a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\)
podstaw \(x=a+b\)
\(x^2-2x+1+3\geq 0\\
(x-1)^2+3\geq 0\)
i wróć do a i b
\((a+b-1)^2+3\ge 0\)

[Scino]

Wykaż, że dla dowolnego parametru \(a\), funkcja \(f(b) = a^2+b^2+4 - 2a-2b+2ab \) jest nieujemna.
\(f'(b)=2b-2+2a=0 \iff b=1-a\)
Funkcja \(f(b)\) jest funkcją kwadratową o dodatnim współczynniku kierunkowym zatem \(f(b)_{min}=f(1-a)=3 \geq 0\)

Lub bez pochodnej - wystarczy policzyć deltę z parametrem \(a\)
\(\Delta = (2a-2)^2-4(a^2+4-2a)=4a^2-8a+4-4a^2-16+8a=-12 < 0\) zatem funkcja \(f(b)\) w całości znajduje się powyżej osi \(OX\).