Zadania Zestaw powtorzeniowy I klasa Liceum

[kow12]

Zad 1 Wyznacz liczby całkowite a,b i c tak, aby była prawdziwa nierówność:
\({ ( \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)(a \sqrt[3]{4} + b \sqrt[3]{2} +c)=10}\)
Doszedłem do tego momentu:\({ (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2)(a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c)=10\\a\sqrt[3]{16}+b\sqrt[3]{8}+c\sqrt[3]{4}+a\sqrt[3]{8}+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}-2a\sqrt[3]{4}-2b\sqrt[3]{2}-2c=10\\\sqrt[3]{8}=2\\\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\\\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10}\)
A dalej nie wiem.

Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierownosc
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)} \)

Zad 3 Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{2xy}\) , wiedzac ze x i y sa dodatnie i spełniaja warunek \({5x^2+4y^2=20xy}\)

(Przepraszam jeśli coś zle zapisalem ale pierwszy raz pisze czymś taki, a takze pisałem to dośc szybko)

[eresh]

Zad 1 Wyznacz liczby całkowite a,b i c tak, aby była prawdziwa nierówność:
\({ ( \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)(a \sqrt[3]{4} + b \sqrt[3]{2} +c)=10}\)
Doszedłem do tego momentu:\({ (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2)(a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c)=10\\a\sqrt[3]{16}+b\sqrt[3]{8}+c\sqrt[3]{4}+a\sqrt[3]{8}+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}-2a\sqrt[3]{4}-2b\sqrt[3]{2}-2c=10\\\sqrt[3]{8}=2\\\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\\\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10}\)
A dalej nie wiem.

\(\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10\\
\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=0\cdot \sqrt[3]{2}+0\cdot \sqrt[3]{4}+10\\
2a+c-2b=0\\
-2a+b+c=0\\
2a+2b-2c=10\)
poradzisz sobie dalej?

[kow12]

Zad 1 Wyznacz liczby całkowite a,b i c tak, aby była prawdziwa nierówność:
\({ ( \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)(a \sqrt[3]{4} + b \sqrt[3]{2} +c)=10}\)
Doszedłem do tego momentu:\({ (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2)(a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c)=10\\a\sqrt[3]{16}+b\sqrt[3]{8}+c\sqrt[3]{4}+a\sqrt[3]{8}+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}-2a\sqrt[3]{4}-2b\sqrt[3]{2}-2c=10\\\sqrt[3]{8}=2\\\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\\\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10}\)
A dalej nie wiem.

\(\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10\\
\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=0\cdot \sqrt[3]{2}+0\cdot \sqrt[3]{4}+10\\
2a+c-2b=0\\
-2a+b+c=0\\
2a+2b-2c=10\)
poradzisz sobie dalej?

i to jest układ równań? jezeli tak to oczywiście. Wczesniej tez znalazlem podobne rozwiazanie ale nie wiedzialem dlaczego dwa pierwsze sa rowne 0

[eresh]

Zad 1 Wyznacz liczby całkowite a,b i c tak, aby była prawdziwa nierówność:
\({ ( \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} -2)(a \sqrt[3]{4} + b \sqrt[3]{2} +c)=10}\)
Doszedłem do tego momentu:\({ (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}-2)(a\sqrt[3]{4}+b\sqrt[3]{2}+c)=10\\a\sqrt[3]{16}+b\sqrt[3]{8}+c\sqrt[3]{4}+a\sqrt[3]{8}+b\sqrt[3]{4}+c\sqrt[3]{2}-2a\sqrt[3]{4}-2b\sqrt[3]{2}-2c=10\\\sqrt[3]{8}=2\\\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\\\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10}\)
A dalej nie wiem.

\(\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=10\\
\sqrt[3]{2}(2a+c-2b)+\sqrt[3]{4}(-2a+b+c)+(2a+2b-2c)=0\cdot \sqrt[3]{2}+0\cdot \sqrt[3]{4}+10\\
2a+c-2b=0\\
-2a+b+c=0\\
2a+2b-2c=10\)
poradzisz sobie dalej?

i to jest układ równań? jezeli tak to oczywiście. Wczesniej tez znalazlem podobne rozwiazanie ale nie wiedzialem dlaczego dwa pierwsze sa rowne 0

tak, to jest układ równań

[eresh]

Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierownosc
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)} \)

\(a^2+b^2+4\geq 2a+2b-2ab\\
a^2+2ab+b^2+4-2a-2b\geq 0\\
(a+b)^2-2(a+b)+4\geq 0\\
(a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\\
(a+b-1)^2+3\geq 0\)

[eresh]

Zad 3 Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{2xy}\) , wiedzac ze x i y sa dodatnie i spełniaja warunek \({5x^2+4y^2=20xy}\)

\(5x^2+4y^2=20xy\\\) dzielimy obustronnie przez \(y^2\neq 0
\)
\(5\cdot (\frac{x}{y})^2+4-20\cdot\frac{x}{y}\\
\frac{x}{y}=t, t>0\\
5t^2-20t+4=0\\
t_1=\frac{20-8\sqrt{5}}{10}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\\
t_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\)

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\)

dalej już chyba łatwo?

[kow12]

Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierownosc
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)} \)

\(a^2+b^2+4\geq 2a+2b-2ab\\
a^2+2ab+b^2+4-2a-2b\geq 0\\
(a+b)^2-2(a+b)+4\geq 0\\
(a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\\
(a+b-1)^2+3\geq 0\)

Dobra ja to ogólnie rozumiem i jest jasne, ale w szkole nigdy nie bylo kwadratu sumy trzech liczb, wiec nie wiem, nie ma innej mozliwosci rozwiazania>?

[kow12]

Zad 3 Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{2xy}\) , wiedzac ze x i y sa dodatnie i spełniaja warunek \({5x^2+4y^2=20xy}\)

\(5x^2+4y^2=20xy\\\) dzielimy obustronnie przez \(y^2\neq 0
\)
\(5\cdot (\frac{x}{y})^2+4-20\cdot\frac{x}{y}\\
\frac{x}{y}=t, t>0\\
5t^2-20t+4=0\\
t_1=\frac{20-8\sqrt{5}}{10}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\\
t_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\)

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\)

dalej już chyba łatwo?

moze i łatwe ale mi coś nie pasuje, nie mogę tego jakoś zrobić

[eresh]

Zad 3 Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{2xy}\) , wiedzac ze x i y sa dodatnie i spełniaja warunek \({5x^2+4y^2=20xy}\)

\(5x^2+4y^2=20xy\\\) dzielimy obustronnie przez \(y^2\neq 0
\)
\(5\cdot (\frac{x}{y})^2+4-20\cdot\frac{x}{y}\\
\frac{x}{y}=t, t>0\\
5t^2-20t+4=0\\
t_1=\frac{20-8\sqrt{5}}{10}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\\
t_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\)

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\)

dalej już chyba łatwo?

moze i łatwe ale mi coś nie pasuje, nie mogę tego jakoś zrobić

\(\frac{x}{y}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}\\
\frac{y}{x}=\frac{5}{10-4\sqrt{5}}=\frac{5(10+4\sqrt{5})}{20}=\frac{10+4\sqrt{5}}{4}\\
\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=\frac{1}{2}(\frac{10-4\sqrt{5}}{5}+\frac{10+4\sqrt{5}}{4})\)

[kow12]

\(5x^2+4y^2=20xy\\\) dzielimy obustronnie przez \(y^2\neq 0
\)
\(5\cdot (\frac{x}{y})^2+4-20\cdot\frac{x}{y}\\
\frac{x}{y}=t, t>0\\
5t^2-20t+4=0\\
t_1=\frac{20-8\sqrt{5}}{10}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\\
t_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\)

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\)

dalej już chyba łatwo?

moze i łatwe ale mi coś nie pasuje, nie mogę tego jakoś zrobić

\(\frac{x}{y}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}\\
\frac{y}{x}=\frac{5}{10-4\sqrt{5}}=\frac{5(10+4\sqrt{5})}{20}=\frac{10+4\sqrt{5}}{4}\\
\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=\frac{1}{2}(\frac{10-4\sqrt{5}}{5}+\frac{10+4\sqrt{5}}{4})\)

to okej zauwazyłem ze jest dwa razy x/y i sam znalaźlem ale t t1 i t2 juz chyba wiem to jest rownanie kwadratowe tylko ze u nas jeszcze nie bylo wiec tak zrobic nie moge. taka sama sytuacja jak zadanie 2

[kow12]

Zad 2 Wykaż ze dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierownosc
\({a^2+b^2+4\ge2(a+b-ab)} \)

\(a^2+b^2+4\geq 2a+2b-2ab\\
a^2+2ab+b^2+4-2a-2b\geq 0\\
(a+b)^2-2(a+b)+4\geq 0\\
(a+b)^2-2(a+b)+1+3\geq 0\\
(a+b-1)^2+3\geq 0\)

da sie to rozwiazac bez kwadratu sumy trzech liczb?

[kow12]

Zad 3 Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{2xy}\) , wiedzac ze x i y sa dodatnie i spełniaja warunek \({5x^2+4y^2=20xy}\)

\(5x^2+4y^2=20xy\\\) dzielimy obustronnie przez \(y^2\neq 0
\)
\(5\cdot (\frac{x}{y})^2+4-20\cdot\frac{x}{y}\\
\frac{x}{y}=t, t>0\\
5t^2-20t+4=0\\
t_1=\frac{20-8\sqrt{5}}{10}=\frac{10-4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\\
t_2=\frac{10+4\sqrt{5}}{5}=\frac{x}{y}\)

\(\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{1}{2}(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\)

dalej już chyba łatwo?

a to bez rownania kwadratowego?

[kow12]

czyli tych zadan nie da sie innaczej rozwiazac?

[Jerry]

da sie to rozwiazac bez kwadratu sumy trzech liczb?

https://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=3&t=89806

Pozdrawiam