Szereg geometryczny i funkcja wykładnicza
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Januszgolenia
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Szereg geometryczny i funkcja wykładnicza
Dla jakich wartości parametru m równanie \(4^x+4^{x-1}+4^{x-2}+......=m- \frac{1}{3} \cdot 4^{2x}\) nie ma rozwiązań?
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Szereg geometryczny i funkcja wykładnicza
\(4^x(1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+...)=m- \frac{1}{3}(2^x)^2 \ \ \ | \cdot 3 \\
3 \cdot 4^x \cdot \frac{4}{3}=3m- (2^x)^2\\
t=2^x \ \wedge \ t>0\\
t^2+4t-3m=0\)
brak rozwiązań gdy:
a) \(\Delta <0\)
a tak jest dla \(m< \frac{-4}{3} \)
b) \(\Delta =0 \ \ \wedge \ \ t_{1,2} \le 0\)
\(m= \frac{-4}{3} \) spełnia założenia gdyż wtedy \(t_{1,2} =-1\)
c) \(\Delta >0 \ \ \wedge \ \ t_1t_2 \ge 0 \ \ \wedge \ \ t_1+t_2<0 \)
Założenia dają układ:
\( \begin{cases} m> \frac{-4}{3} \\ m \le 0 \\ m \in \rr \end{cases} \)
a stąd \(\frac{-4}{3}<m \le 0\)
Sumując rozwiązania z a), b) i c) dostaję iż \(m \le 0\)
Wersja druga:
Rysuję parabolę \(y=t^2+4t\) . Z rysunku widać że prosta \(y=k\) przecina parabolę w pierwszej ćwiartce tylko dla \(k>0 \) (dla k=0 prosta przechodzi przez punkty paraboli (-4,0) i (0,0)). Ergo, brak rozwiązania dla \(k \le 0\). Podstawiając \(k=3m\) mam szukany przedział \(m \le 0\) .
3 \cdot 4^x \cdot \frac{4}{3}=3m- (2^x)^2\\
t=2^x \ \wedge \ t>0\\
t^2+4t-3m=0\)
brak rozwiązań gdy:
a) \(\Delta <0\)
a tak jest dla \(m< \frac{-4}{3} \)
b) \(\Delta =0 \ \ \wedge \ \ t_{1,2} \le 0\)
\(m= \frac{-4}{3} \) spełnia założenia gdyż wtedy \(t_{1,2} =-1\)
c) \(\Delta >0 \ \ \wedge \ \ t_1t_2 \ge 0 \ \ \wedge \ \ t_1+t_2<0 \)
Założenia dają układ:
\( \begin{cases} m> \frac{-4}{3} \\ m \le 0 \\ m \in \rr \end{cases} \)
a stąd \(\frac{-4}{3}<m \le 0\)
Sumując rozwiązania z a), b) i c) dostaję iż \(m \le 0\)
Wersja druga:
Rysuję parabolę \(y=t^2+4t\) . Z rysunku widać że prosta \(y=k\) przecina parabolę w pierwszej ćwiartce tylko dla \(k>0 \) (dla k=0 prosta przechodzi przez punkty paraboli (-4,0) i (0,0)). Ergo, brak rozwiązania dla \(k \le 0\). Podstawiając \(k=3m\) mam szukany przedział \(m \le 0\) .