Szereg geometryczny i funkcja wykładnicza

[Januszgolenia]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+.......=2^{2x-1}+m\) ma jedno rozwiązanie.

[eresh]

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie \(2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+.......=2^{2x-1}+m\) ma jedno rozwiązanie.

\(q=\frac{1}{2}\\
\frac{2^x}{1-0,5}=2^{2x-1}+m\\
-2^{2x}\cdot 0,5+2\cdot 2^x-m=0\\
2^x=t,t>0\\
-0,5t^2+2t-m=0\\
\Delta = 4-2m\)

I
\(\Delta = 0\;\; \wedge \;\;t_0>0\\
m=2\\
-0,5t^2+2t-2=0\\
t=2>0\)

II.
\(\Delta>0\So m<2\\
x_1x_2<0\\
\frac{-m}{-0,5}<0\\
m<0\\
m\in (-\infty, 0)\)

III.
\(\Delta>0\So m<2\\
x_1x_2=0\So m=0\\
x_1+x_2>0\So m\in\mathbb{R}\\
m\in\{0\}\)

suma rozwiązań z I, II, III

Odpowiedź: \(m\in (-\infty, 0]\cup \{2\}\)

[kerajs]

\(2^x \left(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} +... \right) = \frac{1}{2} \cdot 2^{2x}+m \ \ | \cdot 2\\
(2^x)^2-4 \cdot 2^x+2m=0\\
(2^x-2)^2=4-2m \ \ \wedge \ \ m \le 2 \\
2^x=2+ \sqrt{4-2m} \vee 2^x=2- \sqrt{4-2m}
\)
Lewe równanie zawsze ma rozwiązanie więc prawe:
a) ma takie samo rozwiązanie jak lewe równanie, czyli:
\(2+ \sqrt{4-2m} =2- \sqrt{4-2m}\\
2\sqrt{4-2m} =0\\
m=2\)
b) nie ma rozwiązań, czyli
\(2- \sqrt{4-2m} \le 0\\
2 \le \sqrt{4-2m}\\
4 \le 4-2m\\
m \le 0\)

Nie kasuję tego rozwiązania tylko dlatego że różni się od odpowiedzi eresh (choć tylko o m=0)

Odpowiedź: \(m\in (-\infty, 0)\cup \{2\}\)

[eresh]

Nie kasuję tego rozwiązania tylko dlatego że różni się od odpowiedzi eresh (choć tylko o m=0)

błąd poprawiony, dzięki