Najwieksze pole

[gosiaku]

Dany jest trójkąt prostokątny ABC, gdzie ACB = 90°, o długościach boków a = 3, b = 4,
c = 5. Na przeciwprostokątnej obrano punkt F. W trójkąt wpisano prostokąt w ten sposób, że
dwa jego boki leżą na przyprostokątnych, a wierzchołkami są punkty C i F. Wyznacz wymiary
prostokąta o największym polu.

[kerajs]

\(P(x,y)=xy\\
\tg A= \frac{3}{4}= \frac{3-x}{y} \ \ \ \So \ \ \ y=4- \frac{4}{3}x\\
P(x)=x(4- \frac{4}{3}x) \ \ \ \ \wedge x \ \ \ \in \left( 0,3\right) \)
Dalej pewnie już potrafisz.

PS
\(x=\frac{3}{2}\)

[eresh]

prostokąt HFGC, H leży na AC, G- na CB
\(|FG|=x\\
|FH|=y\)
trójkąt AHF jest podobny do FGB
\(\frac{4-x}{y}=\frac{x}{3-y}\\
12-4y-3x+xy=xy\\
-4y=3x-12\\
y=\frac{-3}{4}x+3\\
x\in (0,4)\\
P=xy\\
P(x)=x(-\frac{3}{4}x+3)\\
P(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x\\
P'(x)=-\frac{3}{2}x+3\\
P'(x)>0\iff x\in (0,2)\\
P'(x)<0\iff x\in (2,4)\\
P_{max}=P(2)\\
x=2\\
y=1,5
\)

[gosiaku]

A jak zrobić to bez pochodnej bo na podstawie tego nie ma?
P(x) i co dalej inną metodą?

[eresh]

A jak zrobić to bez pochodnej bo na podstawie tego nie ma?
P(x) i co dalej inną metodą?

\(P(x)=-\frac{3}{4}x^2+3x\\
p=\frac{-3}{2\cdot (-0,75)}\\
p=2\in (0,4)\)
funkcja kwadratowa P przyjmuje wartość największą w wierzchołku, czyli dla x=p=2