Logarytmy

[approve37]

Prosze o pomoc z tymi zadaniami:

a) \(4^{x} + 2^{x+1}\le 15\)
b) \(log(1 + log (1 + log x)) = 0 \)
c) \(16^{x+1} + 4^{2x} + 2^{4x} = \frac{9}{8} \)
d) \(log_4 ( log_2(x+2)) < 1\)

[eresh]

Prosze o pomoc z tymi zadaniami:

a) \(4^{x} + 2^{x+1}\le 15\)

\(2^{2x}+2^x\cdot 2\le 15\\
2^x=t\\
t^2+2t-15\le 0\\
t\in [-5,3]\;\; \wedge \;\;t>0\\
2^x<3\\
\log_22^x\leq \log_23\\
x\leq \log_23\)

[eresh]

Prosze o pomoc z tymi zadaniami:

b) \(log(1 + log (1 + log x)) = 0 \)

\(\log (1+\log(1+\log x))=\log 1\\
1+\log(1+\log x)=1\\
\log (1+\log x)=0\\
1+\log x=1\\
\log_x=0\\
x=1\)

spr.
\(\log (1+\log(1+\log 1))=\log (1+\log(1))=\log (1+0)=0\)

[eresh]

c) \(16^{x+1} + 4^{2x} + 2^{4x} = \frac{9}{8} \)

\(4^{2x+2}+4^{2x}+4^{2x}=\frac{9}{8}\\
4^{2x}\cdot 4^2+4^{2x}+4^{2x}=\frac{9}{8}\\
4^{2x}\cdot 16+4^{2x}+4^{2x}=\frac{9}{8}\\
18\cdot 4^{2x}=\frac{9}{8}\\
4^{2x}=\frac{1}{16}\\
4^{2x}=4^{-2}\\
2x=-2\\
x=-1\)

[eresh]

Prosze o pomoc z tymi zadaniami:

d) \(log_4 ( log_2(x+2)) < 1\)

\(x+2>0\So x>-2\\
\log_2(x+2)>0\;\So\;\log_2(x+2)>\log_21\So x+2>1\So x>-1\\
D=(-1,\infty)\)

\(\log_4 (\log_2(x+2)) < 1\\
\log_4 (\log_2(x+2)) < \log_44\\
\log_2(x+2)<4\\
\log_2(x+2)<\log_22^4\\
x+2<16\\
x<14\;\; \wedge \;\;x\in D\\
x\in (-1,14)\)

[approve37]

Prosze o pomoc z tymi zadaniami:

a) \(4^{x} + 2^{x+1}\le 15\)

\(2^{2x}+2^x\cdot 2\le 15\\
2^x=t\\
t^2+2t-15\le 0\\
t\in [-5,3]\;\; \wedge \;\;t>0\\
2^x<3\\
\log_22^x\leq \log_23\\
x\leq \log_23\)

\(2^x < 3\) wzielo sie dlatego ze t jest wieksze od zera i mniejsze od 3?

[eresh]

\(2^x < 3\) wzielo sie dlatego ze t jest wieksze od zera i mniejsze od 3?

\(2^{2x}+2\cdot 2^x-15\leq 15\\
t=2^x, t\in (0,\infty)\\
t^2+2t-15\leq 0\\
\Delta=4-4\cdot (-15)=64\\
t_1=\frac{-2-8}{2}=-5\\
t_2=\frac{-2+8}{2}=3\\
t\in [-5,3]\;\;\wedge\;\;t\in (0,\infty)\\
t\in (0,3]\)