Asymptoty wykresu funkcji

[not_a_genius]

Wyznacz asymptoty ukośne (poziome) wykresu funkcji f:

1)
\(f(x) = \begin{cases} 5x+2 \quad \text{jeśli} \quad |x| \leq 3
\\
\frac{3x^2}{|x|+6} \quad \text{jeśli} \quad |x| > 3
\end{cases}\)
2)
\(f(x) = \begin{cases} \frac{x^3+5}{2x+4}\quad \text{jeśli} \quad x \leq -3
\\
\frac{-2x^3}{x^2+1} \quad \text{jeśli} \quad x > -3
\end{cases}\)

Próbowałem liczyć asymptotę ukośną prawostronną w 2) i granica wyszła mi niewłaściwa, a w odpowiedziach jest: \(y=-2x\). Z góry dziękuję za pomoc.

[radagast]

2)
\(f(x) = \begin{cases} \frac{x^3+5}{2x+4}\quad \text{jeśli} \quad x \leq -3
\\
\frac{-2x^3}{x^2+1} \quad \text{jeśli} \quad x > -3
\end{cases}\)

Próbowałem liczyć asymptotę ukośną prawostronną w 2) i granica wyszła mi niewłaściwa, a w odpowiedziach jest: \(y=-2x\). Z góry dziękuję za pomoc.

\(\Lim_{x\to - \infty } \frac{f(x)}{x} =\Lim_{x\to - \infty } \frac{\frac{x^3+5}{2x+4}}{x}=\Lim_{x\to - \infty } \frac{x^3+5}{2x^2+4x} =\Lim_{x\to - \infty } \frac{x+ \frac{5}{x^2} }{2+ \frac{4}{x} } =- \infty\)
wniosek: brak asymptoty ukośnej lewostronnej
\(\Lim_{x\to + \infty } \frac{f(x)}{x} =\Lim_{x\to + \infty } \frac{\frac{-2x^3}{x^2+1} }{x}=\Lim_{x\to + \infty } \frac{-2x^3}{x^3+x} =-2=a\)
\(\Lim_{x\to + \infty }f(x)-ax=\Lim_{x\to + \infty }\frac{-2x^3}{x^2+1} +2x=\Lim_{x\to + \infty }\frac{-2x^3+2x^3+2x}{x^2+1} =0=b\)
wniosek:prosta \(y=-2x\) jest asymptotą ukośną prawostronną.

[not_a_genius]

Dziękuję. Nie wiem czemu, ale liczyłem \(\Lim_{x \to \infty}f(x)\) zamiast \(\Lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}\). Chyba trzeba trochę odpocząć