wyznacz najmniejszą liczbę naturalna n

[ewamil]

Hej,

mam problem z jeszcze jednym zadaniem:

Wyznacz najmniejszą liczbę naturalną n z \(\sum_{k=0}^{n-1}5^{k+2} > 10^{42}\)

Prosiłabym o pomoc!

[kerajs]

tu masz sumę z n wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach \(5^2, ...5^{n-2}\)
\(S_n>10^{42} \ \wedge \ n \in \nn \\
\frac{5^2(1-5^n)}{1-5}>10^{42}\\
5^n>16 \cdot 10^{40}+1 \\
5^n \ge 16 \cdot 10^{40} \ \bigg| \ log_5 \\
n \ge \log_5 (16 \cdot 10^{40} ) \\
n \ge \log_5 16 +\log_5 10^{40} ) \\
n \ge 4\log_5 2+40\log_5 2 \cdot 5 \\
n \ge 44\log_5 2+40 \\
n \ge 44 \cdot \frac{\log 2}{\log 5}+40 \\
n > 44 \cdot 0,4306765+40\\
n>58,95\)
Najmniejsze n to 59

[ewamil]

tu masz sumę z n wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach \(5^2, ...5^{n-2}\)
\(S_n>10^{42} \ \wedge \ n \in \nn \\
\frac{5^2(1-5^n)}{1-5}>10^{42}\\
5^n>16 \cdot 10^{40}+1 \\
5^n \ge 16 \cdot 10^{40} \ \bigg| \ log_5 \\
n \ge \log_5 (16 \cdot 10^{40} ) \\
n \ge \log_5 16 +\log_5 10^{40} ) \\
n \ge 4\log_5 2+40\log_5 2 \cdot 5 \\
n \ge 44\log_5 2+40 \\
n \ge 44 \cdot \frac{\log 2}{\log 5}+40 \\
n > 44 \cdot 0,4306765+40\\
n>58,95\)
Najmniejsze n to 59

Super, dziekuje, ale mam tylko jedno pytanie, nie rozumiem tego kroku, jak on "powstał"
\(5^n>16 \cdot 10^{40}+1 \\\), i dlaczego w następnym kroku nie ma już +1.