Analiza matematyczna.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 90 razy
Płeć:

Analiza matematyczna.

Post autor: MiedzianyDawid » 29 sty 2019, 15:34

Uzasadnij, że równanie \(x(x^2+12)=6(x^2+1)\) ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Post autor: eresh » 29 sty 2019, 15:49

\(x(x^2+12)=6(x^2+1)\\
x^3+12x-6x^2-6=0\\
f(x)=x^3-6x^2+12x-6\\
f'(x)=3x^2-12x+12=3(x^2-4x+4)=3(x-2)^2\\
f'(x)>0\)

funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie - może mieć co najwyżej jedno miejsce zerowe
\(f(0)=-6<0\\
f(1)=1>0\)

na mocy twierdzenia Darboux w przedziale (0,1) jest jedyne miejsce zerowe funkcji