Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 90 razy
Płeć:

Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale.

Post autor: MiedzianyDawid » 21 sty 2019, 18:42

1.Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji f: największą (M) i najmniejszą (m) w podanym zbiorze:
f(x)=\(\frac{1-x^2}{x-3}\), x\(\in<-5,3)\).
2.Wyznacz zbiór wartości funkcji f:
f(x)=\(\frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2-6x+4 \frac{2}{3}\), x\(\in (-3,2)\).

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale.

Post autor: eresh » 21 sty 2019, 18:48

MiedzianyDawid pisze:1.Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji f: największą (M) i najmniejszą (m) w podanym zbiorze:
f(x)=\(\frac{1-x^2}{x-3}\), x\(\in<-5,3)\).
\(A=[-5,3)\\
f'(x)=\frac{-2x(x-3)-1+x^2}{(x-3)^2}\\
f'(x)=\frac{-x^2+6x-1}{(x-3)^2}\\
f'(x)=0\iff x=3+2\sqrt{2}\notin A\;\;\; \vee \;\;\;x=3-2\sqrt{2}\in A\\
f(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-6\\
f(-5)=3\\
\Lim_{x\to 3^{-}}\frac{1-x^2}{x-3}= \left[\frac{-8}{0^-} \right]=+\infty\)

\(m=4\sqrt{2}-6\)
M nie istnieje

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale.

Post autor: eresh » 21 sty 2019, 18:58

MiedzianyDawid pisze: 2.Wyznacz zbiór wartości funkcji f:
\(f(x)=\frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2-6x+4 \frac{2}{3}\), x\(\in (-3,2)\).
\(x\in (-3,2)\\
\Lim_{x\to -3^{+}}f(x)=\frac{55}{6}\\
\Lim_{x\to 2^-}f(x)=-\frac{20}{3}\\
f'(x)=x^2-x+6=(x-3)(x+2)\\
f'(x)>0\iff x\in (-3, -2)\cup (3,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-2,2)\\
f(-2)=12\)


w przedziale (-3,-2] funkcja rośnie (\(y\in (\frac{55}{6},12]\),
w przedziale [-2,2) funkcja maleje (\(y\in [12,-\frac{20}{3})\)

\(ZW=(-\frac{20}{3},12]\)