Największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale.

[MiedzianyDawid]

1.Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji f: największą (M) i najmniejszą (m) w podanym zbiorze:
f(x)=\(\frac{1-x^2}{x-3}\), x\(\in<-5,3)\).
2.Wyznacz zbiór wartości funkcji f:
f(x)=\(\frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2-6x+4 \frac{2}{3}\), x\(\in (-3,2)\).

[eresh]

1.Wyznacz wartości (o ile istnieją) funkcji f: największą (M) i najmniejszą (m) w podanym zbiorze:
f(x)=\(\frac{1-x^2}{x-3}\), x\(\in<-5,3)\).

\(A=[-5,3)\\
f'(x)=\frac{-2x(x-3)-1+x^2}{(x-3)^2}\\
f'(x)=\frac{-x^2+6x-1}{(x-3)^2}\\
f'(x)=0\iff x=3+2\sqrt{2}\notin A\;\;\; \vee \;\;\;x=3-2\sqrt{2}\in A\\
f(3-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}-6\\
f(-5)=3\\
\Lim_{x\to 3^{-}}\frac{1-x^2}{x-3}= \left[\frac{-8}{0^-} \right]=+\infty\)
\(m=4\sqrt{2}-6\)
M nie istnieje

[eresh]

2.Wyznacz zbiór wartości funkcji f:
\(f(x)=\frac{1}{3}x^3- \frac{1}{2}x^2-6x+4 \frac{2}{3}\), x\(\in (-3,2)\).

\(x\in (-3,2)\\
\Lim_{x\to -3^{+}}f(x)=\frac{55}{6}\\
\Lim_{x\to 2^-}f(x)=-\frac{20}{3}\\
f'(x)=x^2-x+6=(x-3)(x+2)\\
f'(x)>0\iff x\in (-3, -2)\cup (3,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-2,2)\\
f(-2)=12\)

w przedziale (-3,-2] funkcja rośnie (\(y\in (\frac{55}{6},12]\),
w przedziale [-2,2) funkcja maleje (\(y\in [12,-\frac{20}{3})\)

\(ZW=(-\frac{20}{3},12]\)