Ekstrema lokalne funkcji.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 90 razy
Płeć:

Ekstrema lokalne funkcji.

Post autor: MiedzianyDawid » 16 sty 2019, 18:37

Proszę o wyznaczenie ekstremów lokalnych tych funkcji(nie ogarniam tego za bardzo) :?
a)f(x)=\(\frac{-1}{3}x^3+5x^2-24x+57\)
b)f(x)=\(\frac{1}{4}x^4-2x^3+4 \frac{1}{2}x^2+7\)
c)f(x)=\(\frac{1}{5}x^5+3x^3+18x-123\)
d)f(x)=\(\frac{3x^2-5x+9}{x}\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Ekstrema lokalne funkcji.

Post autor: eresh » 16 sty 2019, 18:41

MiedzianyDawid pisze:Proszę o wyznaczenie ekstremów lokalnych tych funkcji(nie ogarniam tego za bardzo) :?
a)f(x)=\(\frac{-1}{3}x^3+5x^2-24x+57\)
\(f'(x)=-x^2+10x-24\\
f'(x)=-(x-4)(x-6)\\
f'(x)>0\iff x\in (4,6)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty. 4)\cup (6,\infty)\\
f_{max}=f(6)\\
f_{min}=f(4)\)

MiedzianyDawid
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 96
Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
Podziękowania: 90 razy
Płeć:

Post autor: MiedzianyDawid » 16 sty 2019, 18:41

Dokładam jeszcze jeden podpunkt :)
e)f(x)=\(\frac{x^2}{x+|7-2x|}\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Ekstrema lokalne funkcji.

Post autor: eresh » 16 sty 2019, 18:44

MiedzianyDawid pisze:Proszę o wyznaczenie ekstremów lokalnych tych funkcji(nie ogarniam tego za bardzo) :?

b)f(x)=\(\frac{1}{4}x^4-2x^3+4 \frac{1}{2}x^2+7\)
\(f'(x)=x^3-6x^2+9x\\
f'(x)=x(x^2-6x+9)\\
f'(x)=x(x-3)^2\\
f'(x)>0\iff x\in (0,3)\cup (3,\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (-\infty 0)\\
f_{min}=f(0)\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Ekstrema lokalne funkcji.

Post autor: eresh » 16 sty 2019, 18:45

MiedzianyDawid pisze:Proszę o wyznaczenie ekstremów lokalnych tych funkcji(nie ogarniam tego za bardzo) :?

c)f(x)=\(\frac{1}{5}x^5+3x^3+18x-123\)
\(f'(x)=x^4+9x^2+18\)
dla każdego \(x\in\mathbb{R}\) \(f'(x)>0\), więc funkcja nie ma ekstremów

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re: Ekstrema lokalne funkcji.

Post autor: eresh » 16 sty 2019, 18:50

MiedzianyDawid pisze:Proszę o wyznaczenie ekstremów lokalnych tych funkcji(nie ogarniam tego za bardzo) :?

d)f(x)=\(\frac{3x^2-5x+9}{x}\)
\(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

\(f'(x)=\frac{(6x-5)x-3x^2+5x-9}{x^2}\\
f'(x)=\frac{6x^2-5x-3x^2+5x-9}{x^2}\\
f'(x)=\frac{3x^2-9}{x^2}\\
f'(x)=\frac{3(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})}{x^2}\\
D_{f'}=\mathbb{R}\setminus\{0\}
\\
f'(x)<0\iff x\in (-\sqrt{3},0)\cup (0,\sqrt{3})\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty. -\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},\infty)\\
f_{max}=f(-\sqrt{3})\\
f_{min}=f(\sqrt{3})\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13709
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8066 razy
Płeć:

Re:

Post autor: eresh » 16 sty 2019, 19:10

MiedzianyDawid pisze:Dokładam jeszcze jeden podpunkt :)
e)f(x)=\(\frac{x^2}{x+|7-2x|}\)

\(f(x)=\frac{x^2}{x+|7-2x|}=\begin{cases}\frac{x^2}{-x+7}\mbox{ dla }x\in (-\infty, \frac{7}{2}]\\ \frac{x^2}{3x-7}\mbox{ dla }x\in (\frac{7}{2},\infty)\end{cases}\)


1. dla \(x\in (-\infty, \frac{7}{2})\)
\(f'(x)=\frac{2x(-x+7)+x^2}{(-x+7)^2}\\
f'(x)=\frac{-x^2+14x}{(7-x)^2}\\
f'(x)=\frac{-x(x-14)}{(7-x)^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (-\infty, 0)\cup (0,\frac{7}{2})\)

w przedziale \((-\infty, \frac{7}{2})\) nie ma ekstremów

2. dla \(x\in (\frac{7}{2},\infty)\)
\(f'(x)=\frac{2x(3x-7)-3x^2}{((3x-7)^2}\\
f'(x)=\frac{3x^2-14x}{(3x-7)^2}\\
f'(x)=\frac{x(3x-14)}{(3x-7)^2}\\
f'(x)>0\iff x\in (\frac{14}{3},\infty)\\
f'(x)<0\iff x\in (\frac{7}{2},\frac{7}{3})\cup (\frac{7}{3},\frac{14}{3})\\
f_{min}=f(\frac{14}{3})\)


3. \(x=\frac{7}{2}\)
\(\Lim_{x\to\frac{7}{2}^+}f'(x)=\Lim_{x\to\frac{7}{2}^+}\frac{x(3x-14)}{(3x-7)^2}=-1\\\)
\(\Lim_{x\to\frac{7}{2}^-}f'(x)=\Lim_{x\to\frac{7}{2}^+}\frac{-x(x-14)}{(7-x)^2}=3\\\)
\(f'(\frac{7}{2})\mbox{ nie istnieje}\)
z lewej strony \(x=\frac{7}{2}\) pochodna jest dodatnia, z prawej jest ujemna, więc funkcja ma w tym punkcie maksimum