Asymptoty wykresu.

[MiedzianyDawid]

Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji f(x)=\(\frac{2x^2+x}{x^2-3}\).

[eresh]

\(D=\mathbb{R}\setminus\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}\\
\Lim_{x\to -\sqrt{3}^-}f(x)=[\frac{6-\sqrt{3}}{0^+}]=+\infty\\
\Lim_{x\to -\sqrt{3}^+}f(x)=[\frac{6-\sqrt{3}}{0^-}]=-\infty\\
\Lim_{x\to \sqrt{3}^-}f(x)=[\frac{6+\sqrt{3}}{0^-}]=-\infty\\
\Lim_{x\to \sqrt{3}^+}f(x)=[\frac{6+\sqrt{3}}{0^+}]=+\infty\\\)
\(x=-\sqrt{3}, x=\sqrt{3}\) - asymptoty pionowe

\(\Lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x^2+x}{x^3-3x}=0\\
\Lim_{x\to \pm\infty}f(x)=\Lim_{x\to \pm \infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}=2\\\)
y=2 - asymptota pozioma

[Galen]

\(D=(- \infty ;- \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}; \sqrt{3}) \cup ( \sqrt{3};+ \infty )\)
\(\Lim_{x\to -\sqrt{3}^-} \frac{2x^2+3}{x^2-3}= \frac{6- \sqrt{3} }{0^+}=+ \infty \\
\Lim_{x\to - \sqrt{3}^+ }f(x)= \frac{6- \sqrt{3} }{0^-}=- \infty\)
Asymptota pionowa \(x=- \sqrt{3}\)
Analogicznie
\(\Lim_{x\to \sqrt{3}^- }f(x)= \frac{6+ \sqrt{3} }{0^-}=- \infty \\ \Lim_{x\to \sqrt{3}^+ }f(x)= \frac{6+ \sqrt{3} }{0^+}=+ \infty\)
Asymptota pionowa \(x= \sqrt{3}\)
\(\Lim_{x\to \infty } \frac{2x^2+x}{x^2-3}= \Lim_{x\to \infty} \frac{x^2(2+ \frac{1}{x}) }{x^2(1- \frac{3}{x}) }= \frac{2+0}{1+0}=2\)
Analogicznie dla \(x \to - \infty\)
Asymptota pozioma
\(y=2\)
Skoro jest pozioma,to już nie ma ukośnej.