Udowodnić metodami 1 klasa -podstawa (bez indukcji)

[radagast]

wykaż, że dla \(n \in N\) liczba \(7^{n+2}-2^{n+2}-7^{n+1}-2^{n+1}\) jest podzielna przez 10.
Nie stosując indukcji i wzoru na różnicę n-tych potęg (da się ?)

[Galen]

Nie ma co dowodzić,bo to nie jest prawdą.
n=1
\(7^3-2^3-7^2-2^2=343-8-49-4=282\)

[radagast]

Aaa, bo to miało być \(7^{n+2}-2^{n+2}+7^{n+1}-2^{n+1}\)
przepraszam za pomyłkę .
To jest zadanie ze zbioru Kurczab Świda.

[Panko]

Da się , ale to nie jest dowód , tylko ......i tu trzeba sobie wstawić właściwe określenie.

\(7^{n+2} -2^{n+2}+ 7^{n+1} -2^{n+1} =2 \cdot ( 28 \cdot 7^{n} -3 \cdot 2^{n})\)

\(7^{n+2}- 2^{n+2}= (5+2)^{n+2}- 2^{n+2}= 5 \cdot m + 2^{n+2} -2^{n+2}= 5 \cdot m\) \(\\) bo widzicie ( tu machanie rękoma ) jedyny co nie daje wkładu czynnikiem 5 jest no .... \(2^{n+2}\) \(\\)i dalej już oczywiste . ( podzielność przez 5)

Chyba ,że dwumian Newtona już był .

[radagast]

(...) jedyny co nie daje wkładu czynnikiem 5 (...)

Co to znaczy ?