Trygonometria.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
MiedzianyDawid
- Czasem tu bywam
- Posty: 136
- Rejestracja: 12 sie 2018, 21:51
- Podziękowania: 112 razy
- Płeć:
Trygonometria.
Uzasadnij, że jesli \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{ \frac{3}{2} }\), to liczba \(\frac{1}{sin^4 \alpha }\)+\(\frac{1}{\cos ^4 \alpha}\) jest liczbą wymierną.
-
kerajs
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Trygonometria.
\(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{ \frac{3}{2} }\\
\sin^2 \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{3}{2} \\
\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}\),
\(\frac{1}{sin^4 \alpha }+\frac{1}{\cos ^4 \alpha}=\frac{\cos ^4 \alpha +\sin ^4 \alpha}{sin^4 \alpha \cos ^4 \alpha}=\frac{\cos ^2 \alpha (1-\sin ^2 \alpha)+\sin ^2 \alpha (1-\cos ^2 \alpha)}{sin^4 \alpha \cos ^4 \alpha}=\frac{1-2\cos ^2 \alpha \sin ^2 \alpha}{sin^4 \alpha \cos ^4 \alpha}= \frac{1-2( \frac{1}{4})^2 }{( \frac{1}{4})^4}\)
\sin^2 \alpha +2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{3}{2} \\
\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}\),
\(\frac{1}{sin^4 \alpha }+\frac{1}{\cos ^4 \alpha}=\frac{\cos ^4 \alpha +\sin ^4 \alpha}{sin^4 \alpha \cos ^4 \alpha}=\frac{\cos ^2 \alpha (1-\sin ^2 \alpha)+\sin ^2 \alpha (1-\cos ^2 \alpha)}{sin^4 \alpha \cos ^4 \alpha}=\frac{1-2\cos ^2 \alpha \sin ^2 \alpha}{sin^4 \alpha \cos ^4 \alpha}= \frac{1-2( \frac{1}{4})^2 }{( \frac{1}{4})^4}\)