Udowodnij przy pomocy indukcji

[knzxo]

a) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = [n(n+1)/2]^3

b) n^3 - n - 3 jest podzielne przez 3 ; n jest naturalne dodatnie

[radagast]

a) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = [n(n+1)/2]^3

Poprawiłam literówkę
a) \(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) ^2\)
1) dla n=1

\(1^3 = \left( \frac{1(1+1)}{2} \right) ^2=1\) OK
2) zał ind:
\(\exists n \in N \ \ 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right) ^2\)
teza:
\(1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3+(n+1)^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) ^2\)
dowód:
\(L=1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3+(n+1)^3 =\left( \frac{n(n+1)}{2} \right) ^2+(n+1)^3=(n+1)^2 \left( \frac{n^2}{4}+n+1 \right)= \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right) ^2=P\)
cbdo

[radagast]

b) n^3 - n - 3 jest podzielne przez 3 ; n jest naturalne dodatnie

1) dla n=1
\(1-1-3=-3=-3 \cdot 1\) OK
2) zał ind
\(\exists n \in N\ :\ \exists k \in C\ : \ n^3 - n - 3 =3k\)
teza
\(\exists l \in C\ : \ (n+1)^3 - (n+1) - 3 =3l\)
dowód
\(L=(n+1)^3 - (n+1) - 3 =n^3+3n^2+3n+1-n-1-3=n^3-n-3+3n^2+3n=3k+3n^2+3n=\\
3(k+n^2+n),\ \ \ l=k+n^2+n\)
cbdo