Trygonometria - równania trygonometryczne.

[MiedzianyDawid]

Zad.1
Wykazać, że sin2 \alpha /1+cos2 \alpha * cos \alpha /1+cos \alpha = tg 1/2 \alpha .

Zad.2
Wykaż, że dla dowolnych kątów \alpha , \beta zachodzi równosć (cos \alpha + cos \beta )^2 + (sin \alpha + sin \beta)^2=4cos^2 \alpha - \beta /2.

[radagast]

Zad.1
Wykazać, że sin2 \alpha /1+cos2 \alpha * cos \alpha /1+cos \alpha = tg 1/2 \alpha .

\(\frac{\sin 2 \alpha }{1+\cos 2 \alpha} \cdot \frac{\cos \alpha }{1+\cos \alpha} =\\
\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{1+2\cos^2 \alpha -1} \cdot \frac{\cos \alpha }{1+\cos \alpha} =\\
\frac{2\sin \alpha \cos ^2 \alpha }{2\cos^2 \alpha } \cdot \frac{1}{1+\cos \alpha} =\\
\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha} =\\
\frac{2\sin \frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{1+2\cos^2 \frac{\alpha}{2}-1} =\\
\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =





\ tg \frac{\alpha}{2}\)

[radagast]

Zad.2
Wykaż, że dla dowolnych kątów \alpha , \beta zachodzi równosć (cos \alpha + cos \beta )^2 + (sin \alpha + sin \beta)^2=4cos^2 \alpha - \beta /2.

\((\cos \alpha + \cos \beta )^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2=\\
\cos^2 \alpha +2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \beta + \sin^2 \alpha +2\sin \alpha \sin \beta + \sin ^2\beta=\\
\sin^2 \alpha +\cos^2 \alpha + \sin ^2\beta + \cos^2 \beta +2\sin \alpha \sin \beta +2\cos \alpha \cos \beta=\\
2+2\sin \alpha \sin \beta +2\cos \alpha \cos \beta=\\
2(1+\sin \alpha \sin \beta +\cos \alpha \cos \beta)=\\
2(1+\cos( \alpha - \beta ))=\\
2(1+\cos 2 \cdot \frac{ \alpha - \beta }{2} )=\\
2(1+2\cos^2 \frac{ \alpha - \beta }{2} -1)=\\
4\cos^2 \frac{ \alpha - \beta }{2}\\\)