dowód matematyczny

[andrzejok]

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n suma jest 4^n+15n+17 podzielna przez 9.

[kerajs]

\(4+15+17=4 \cdot 9 \\
4^n+15n+17=9N\\
4^{n+1}+15(n+1)+17=9M\\
L=4^{n+1}+15(n+1)+17=4 \cdot 4^{n}+15n+15+17=4^{n}+15(n)+17+3 \cdot 4^{n}+15=\\=9N+3(4^n+5)=...\)
Aby dokończyć dowód indukcyjny należy dodatkowo udowodnić że \(4^n+5\) jest podzielne przez 3. Poradzisz sobie z tym ?

[andrzejok]

nie bardzo jeśli byś mógł, było by mi miło

[radagast]

\(\forall n \in N \ \exists k \in C :4^n+5=3k\)
indukcyjnie:
\(n=1\)
\(4^1+5=9=3 \cdot 3\) OK
zał ind:
\(\exists n \in N \ \exists k \in C :4^n+5=3k\)
pokażemy, że
\(\exists l \in C :4^{n+1}+5=3l\)
dowód:
\(4^{n+1}+5=4 \cdot 4^{n}+5=4 \cdot 4^{n}+20-15=4 ( 4^{n}+5)-15=4 \cdot 3k-15=3(4k-5)\)
niech \(l=4k-5\)
cbdo