Dwa dowody trygonometryczne

[m1505]

1. Kąty \(x, y\) są kątami ostrymi takimi, że \(sinx + siny = a\) i \(cosx + cosy = b\), gdzie \(a \in \rr\) i \(b \in \rr\).
Wykaż, że \(\sin(x+y) = \frac{2ab}{a^2 + b^2}\)

2. W trójkącie kąty są równe \(x, y, z\). Wyznacz miarę kąta \(z\) wiedząc, że \(sin^2x + sin^2y = cos(x-y)cosz + cos^2z + \frac{3}{4}\)

[anka]

\(sinx+siny=a\ /()^2\)

\(sin^2x+2sinx siny+sin^2y=a^2\)

\(cosx+cosy=b\ /()^2\)

\(cos^2x+2cosxcosy+cos^2y=b^2\)

\(sin^2x+2sinx siny+sin^2y+cos^2x+2cosxcosy+cos^2y=a^2+b^2\)

\((sin^2x+cos^2x)+2sinxsiny+(sin^2y+cos^2y)+2cosxcosy=a^2+b^2\)

\(1+2sinx siny+1+2cosxcosy=a^2+b^2\)

\(2cosxcosy+2sinx siny+2=a^2+b^2\)

\(2(cosxcosy+sinx siny)+2=a^2+b^2\)

\(2cos(x-y)+2=a^2+b^2\)
-----------------------------
\((sinx+siny)(cosx+cosy)=ab\)

\(sinx cosx +sinx cosy+siny cosx+siny cosy=ab\)

\((sinx cosy+siny cosx)+sinx cosx+siny cosy=ab\)

\(sin(x+y)+ \frac{1}{2} \cdot 2 sinx cosx+ \frac{1}{2} \cdot 2 siny cosy=ab\)

\(sin(x+y)+ \frac{1}{2} sin2x+ \frac{1}{2} sin2y=ab\ /\cdot2\)

\(2sin(x+y)+ sin2x+sin2y=2ab\)

\(2sin(x+y)+2sin \frac{2x+2y}{2}cos \frac{2x-2y}{2}=2ab\)

\(2sin(x+y)+2sin(x+y)cos(x-y)=2ab\)

\(sin(x+y)\left[2+2cos(x-y)\right] =2ab\)

\(sin(x+y)(a^2+b^2)=2ab\ /:(a^2+b^2)\)

\(sin(x+y)= \frac{2ab}{a^2+b^2}\)