Dowodzenie nierówności trygonometrycznej

[Januszgolenia]

Udowodnij, że dla dowolnego kąta \(\alpha \in (0, \frac{ \pi }{2} )\) prawdziwa jest nierówność \(sin( \frac{ \pi }{12}- \alpha ) \cdot cos( \frac{ \pi }{12}+ \alpha )< \frac{1}{4}\).

[kerajs]

1)
Dla \(\alpha \in (0, \frac{\pi}{12} )\) obie funkcje trygonometryczne są dodatnie oraz
\(\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha )<\sin \frac{\pi}{12}\) (bo tu sinus rośnie)
\(\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha )<\cos \frac{\pi}{12}\) (bo tu kosinus maleje)
więc:
\(\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha )\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha )<\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}\)
2)
\(\alpha = \frac{\pi}{12}\) to:
\(\sin 0 \cos ( \frac{\pi}{6})=0< \frac{1}{4}\)
3)
Dla \(\alpha \in ( \frac{\pi}{12} ,\frac{5\pi}{12})\)
\(\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha )<0\)
\(\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha )>0\)
więc:
\(\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha )\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha )<0< \frac{1}{4}\)
4)
\(\alpha = \frac{5\pi}{12}\) to:
\(\sin (\frac{-4\pi}{12} ) \cos ( \frac{\pi}{2})=0< \frac{1}{4}\)
5)
Dla \(\alpha \in ( \frac{5\pi}{12} ,\frac{\pi}{2})\)obie funkcje trygonometryczne są ujemne oraz
\(0>\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha )>\sin \frac{-5\pi}{12}\) (bo tu sinus rośnie)
\(0>\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha )>\cos \frac{7\pi}{12}\) (bo tu kosinus maleje)
więc:
\(\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha )\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha )=(-\sin ( \frac{\pi}{12}- \alpha ))(\cos ( \frac{\pi}{12}+ \alpha ))<(-\sin \frac{-5\pi}{12} )(-\cos \frac{7\pi}{12}) =\\= \sin \frac{5\pi}{12} \cos \frac{5\pi}{12}=\frac{1}{2} \sin \frac{5\pi}{6}= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}\)