Zadanie z wielomianów

[Pjona]

Dany jest wielomian W(x)=\((x^4+16)(x^3-2x^2-5x+6)(x^4-8x^2+16)^2\).
a) Rozłóż wielomian W(x) na czynniki możliwie najniższego stopnia.
b) Rozwiąż nierówność W(x)\(\ge 0\).
Proszę o dokładne rozwiązanie, z góry dziękuje

[radagast]

\(W(x)=(x^4+16)(x^3-2x^2-5x+6)(x^4-8x^2+16)^2\)
\(W_1(x)=x^4+16=(x^2+4)^2-8x^2=(x^2+4-\sqrt{8} x)(x^2+4+\sqrt{8} x)=(x^2-2\sqrt{2} x+4)(x^2+2\sqrt{2} x+4)\)
\(W_2(x)=x^4+16=x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x^2-x-6)=(x-1)(x-3)(x+2)\)
(najpierw należy zauważyć , że 1 jest pierwiastkiem \(W_2(x)\), podzielić \(W_2(x)\) przez \(x-1\), a potem znaleźć pierwiastki otrzymanego ilorazu i zapisać go w postaci iloczynowej).
\(W_3(x)=x^4-8x^2+16=(x^2-4)^2=(x-2)^2(x+2)^2\)
\(W(x)=W_1(x)W_2(x)(W_3(x))^2=(x^2-2\sqrt{2} x+4)(x^2+2\sqrt{2} x+4)(x-1)(x-3)(x+2)(x-2)^4(x+2)^4=\\
(x^2-2\sqrt{2} x+4)(x^2+2\sqrt{2} x+4)(x-1)(x-3)(x-2)^4(x+2)^5\)się tak
Wielomian \(W(x)\) ma więc cztery pierwiastki: -2,1,2,3, z czego tylko dwójka jest pierwiastkiem parzystokrotnym.
Zatem znaki tego wielomianu zmieniają się tak:

ScreenHunter_320.jpg (42.67 KiB) Przejrzano 2367 razy

Czyli \(W(x) \ge0 \iff x \in \left<-2,1 \right>\cup \left<3, \infty \right) \cup \left\{2 \right\}\), (bo tylko tam wykres wielomianu \(W(x)\) nie jest poniżej osi \(x\)).