Ile różnych rozwiązań ma równanie?

[Maturzysta2k18]

Ile różnych rozwiązań ma równanie x(x+1)^2 = (x^2 +x) (x^3 +1)?

Wahałem się czy mogę skrócić lewą stronę z prawa gdy wyszło mi już x(x+1)(x+1) = x(x+1)(x+1)(x^2 + x +1), czy skrócenie powoduje usunięcie któregoś rozwiązania? Wydaje mi się, że nie, ale wyszedł mi wynik 2 a ma wyjść 3 .

[kerajs]

\(x(x+1)^2(x^2-x+1-1)=0\\
x^2(x+1)^2(x-1)=0\)

czy skrócenie powoduje usunięcie któregoś rozwiązania?

Tak.

[Galen]

\(x(x+1)^2-(x^2+x)(x^3+1)=0\\x(x+1)(x+1)-x(x+1)(x+1)(x^2-x+1)=0\\x(x+1)^2\cdot [1-(x^2-x+1)]=0\\x_1=0\\x_2=-1\\-x^2+x=0\;\;\;czyli\;\;x(-x+1)=0\;\;\;więc\;\;x=0\;\;lub\;\;1\)
Nie skracaj,tylko wyłącz i otrzymasz iloczyn.Wtedy każdy z czynników przyrównasz do zera.
\(x\in \left\{ -1;0;1\right\}\)

[Maturzysta2k18]

Pomyliłem wzór skróconego w 3 potędze...

W takim razie w takich zadaniach należy wyłączać przed nawias, ale czy zawsze należy to robić czy można również skracać w jakichś przypadkach? Nigdy się nad tym nie zastanawiałem, a jak się tak dobrze zastanowić to to faktycznie może zrobić różnicę :/.

[Galen]

Jeśli chcesz skracać,a mówiąc precyzyjnie podzielić obie strony przez jakieś wyrażenie,to musisz mieć założenie,że nie dzielisz przez zero.
Jak już podzielisz,to zbadaj co będzie,gdy za x podstawisz wartość dla której byłoby dzielenie przez 0
\(P(x) \cdot F(x)=P(x) \cdot W(x)\)
\(P(x)[F(x)-W(x)]=0\\P(x)=0\;\;\;\;\;lub\;\;\;\;\;F(x)-W(x)=0\)
Jeśli podzielisz przez P(x),to zgubisz jedno miejsce zerowe...
Musisz zbadać równanie,dla sytuacji gdy P(x)=0...

[Maturzysta2k18]

Oki, rozumiem, dziękuję bardzo !