Hej proszę o pomoc w tych zadaniach
1) Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 100, a cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi wynosi - 9/16. Oblicz objętość ostrosłupa
2) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi pierwiastek z 6 a kąt między dwiema ścianami bocznymi ma miarę 120 stopni. Oblicz pole podstawy ostrosłupa.
3) W ostrosłupie prawidłowy trójkątnym ABCS o podstawie ABC punkt M jest środkiem boku CS. Objętość tego ostrosłupa wynosi 2 pierwiastek z 5/3 a przekrój ABM jest trójkątem równobocznym. Oblicz pole tego przekroju.
4)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość b a kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę alfa. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
ScreenHunter_292.jpg (16.5 KiB) Przejrzano 1942 razy
\(\cos \alpha =\cos 2 \frac{ \alpha }{2} =1-2\sin^2 \frac{ \alpha }{2}=- \frac{9}{16} \So \sin^2\frac{ \alpha }{2}= \frac{25}{32} \So \sin\frac{ \alpha }{2}= \frac{5\sqrt{2} }{8}\) (\(\frac{\alpha}{2}\) jest kątem ostrym)
zatem \(x=8\)
Mamy więc następujący układ równań: \(\begin{cases} 8l=10h\\H^2+25=h^2\\h^2+25=l^2\end{cases}\)
a stąd , o ile nie pomyliłam się w rachunkach) \(H= \frac{5}{3} \sqrt{7}\). Dalej już tylko podstawić do wzoru na objętość.
(koniecznie wykonaj rachunki mogłam się pomylić, w razie niejasności pytaj)
ScreenHunter_302.jpg (14.4 KiB) Przejrzano 1912 razy
popatrzmy na trójkąt \(BCS\):
ScreenHunter_301.jpg (5.71 KiB) Przejrzano 1912 razy
i zauważmy , że trójkąty \(BCS\) i \(CMB\) są podobne ( na podstawie cechy kk)
zatem \(\frac{a}{l}= \frac{ \frac{l}{2} }{a}\)
stąd \(l=a \sqrt{2}\).
Teraz policzmy \(H\): \(H= \sqrt{l^2- \left( \frac{2}{3} \frac{a \sqrt{3} }{2} \right) ^2} =\sqrt{2a^2-\frac{a^2}{3} } = \frac{a \sqrt{15} }{3}\)
czyli \(V= \frac{a^2 \sqrt{3} }{12} \cdot \frac{a \sqrt{15} }{3}=\frac{a^3 \sqrt{5} }{12}\)
Z treści zadania mamy więc \(\frac{a^3 \sqrt{5} }{12}= \frac{2 \sqrt{5} }{3}\) czyli \(a^3=8\) czyli \(a=2\)
No to \(P_p=\frac{a^2 \sqrt{3} }{4}= \sqrt{3}\)
