Próbna matura rozszerzona GWO - Kula wpisana w stożek.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kalkam
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 22 mar 2018, 20:21
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Próbna matura rozszerzona GWO - Kula wpisana w stożek.

Post autor: kalkam »

Od razu zaznaczę, że piszę z pamięci, więc treść może nie brzmieć dosłownie tak samo jak na dzisiejszej maturze próbnej.

Dana jest kula o promieniu R=3. Na kuli tej opisano stożek o możliwie najmniejszej objętości. Oblicz promień podstawy tego stożka oraz jego wysokość, a następnie podaj tę najmniejszą objętość.


Z góry dziękuje za pomoc, na maturze się nie udało dojść do rozwiązania (tak na marginesie to chyba nikomu z klasy), próbowałem kilka układów równań już teraz w domu, niestety również bez skutku. Mimo wszystko zadanie wydaje się łatwe.
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Próbna matura rozszerzona GWO - Kula wpisana w stożek.

Post autor: radagast »

ScreenHunter_281.jpg
ScreenHunter_281.jpg (9.28 KiB) Przejrzano 1487 razy
\(V(r,h)= \frac{1}{3}\pi r^2h\), przy czym \(h>2R,\ r>R\)
Z podobieństwa trójkątów \(SOQ\) i \(SBP\) mamy:
\(\frac{h-R}{R}= \frac{ \sqrt{r^2+h^2} }{r}\)
stąd \(r^2= \frac{h^2}{ \left(\frac{h}{R}-1 \right) ^2-1 }=\frac{h^2}{ \left( \frac{h}{R}\right) ^2-\frac{2h}{R} }= \frac{1}{ \left( \frac{1}{R}\right) ^2-\frac{2}{hR} }=\frac{R^2}{ 1-\frac{2R}{h} }=\frac{R^2h}{ h-2R }\)
czyli
\(V(h)=\frac{1}{3}\pi R^2 \frac{h^2}{ h-2R }\),
\(V'(h)=\frac{1}{3}\pi R^2 \frac{h(h-4R)}{h-2R }\),
\(V'(h)>0 \iff \frac{1}{3}\pi R^2 \frac{h(h-4R)}{h-2R }>0 \iff h-4R >0\).
Zatem w punkcie \(4R\) pochodna zmienia znak z - na + ,zatem osiąga tam minimum.
Pozostało wyznaczyć \(r(h)\) i \(V(h)\) , a to już łatwo (po prostu podstawić do wzoru).
kalkam
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 22 mar 2018, 20:21
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Post autor: kalkam »

Trochę spóźnione, ale dzięki!
ODPOWIEDZ