proszę o pomoc z tymi zadaniami

[twofox3894]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:

[radagast]

Fajne zadania . Jak przepiszesz to do lateksa, to Ci rozwiążę

[twofox3894]

1.Oblicz granicę \(\Lim_{x\to0 }\frac{cos(x \sqrt{2})-cos(x \sqrt{5})}{sin^2x}\)
2. Wyznacz przedziały w których funkcja \(f(x)=x* \frac{1}{e^x}\) jest malejąca i wypukła w górę

[radagast]

\(\Lim_{x\to0 }\frac{\cos(x \sqrt{2})-\cos(x \sqrt{5})}{\sin^2x}=^H=\Lim_{x\to0 }\frac{-\sqrt{2}\sin(x \sqrt{2})+\sqrt{5}\sin(x \sqrt{5})}{2\sin x\cos x}=\Lim_{x\to0 }\frac{-\sqrt{2}\sin(x \sqrt{2})+\sqrt{5}\sin(x \sqrt{5})}{\sin 2x}=\\
=^H=\Lim_{x\to0 }\frac{-2\cos(x \sqrt{2})+5\cos(x \sqrt{5})}{2\cos 2x}= \frac{-2+5}{2}= \frac{3}{2}\)

[radagast]

\(f(x)=x e^{-x}\)
\(f'(x)= e^{-x}-x e^{-x}=e^{-x}(1-x)\)
\(f''(x)=-e^{-x}-e^{-x}+x e^{-x}=e^{-x}(x-2)\)
funkcja różniczkowalna jest malejąca i wypukła w górę jeśli \(f'(x)<0\ \ i\ \ f''(x)<0\)
czyli należy rozwiązać układ nierówności:
\(\begin{cases}e^{-x}(1-x)<0\\e^{-x}(x-2)<0 \end{cases}\)
\(\begin{cases}1-x<0\\x-2<0 \end{cases}\)
\(x \in \left(1,2 \right)\)

[twofox3894]

Dziękuję! mam jeszcze jedno pytanie do zadania: Oblicz pole obszaru ograniczonego przez \(2x-y+3=0, y=x^2\) Liczę to i wychodzą mi wyniki na minusie...

[radagast]

To weź wartość bezwzględną i będziesz miał dodatnie . Powinno wyjść \(10 \frac{2}{3}\).

ScreenHunter_202.jpg (28.13 KiB) Przejrzano 1430 razy

Spoiler

\(\begin{cases}2x-y+3=0\\ y=x^2 \end{cases}\)
(...)
\(\begin{cases} x=-1\\y=1\end{cases}\ \vee \ \begin{cases} x=3\\y=9\end{cases}\)
\(\displaystyle \int_{-1}^{3} 2x+3-x^2 dx = \left[x^2+3x- \frac{1}{3}x^3 \right] _{-1}^{3}=9+9- \frac{27}{3}-1+3- \frac{1}{3}=10 \frac{2}{3}\)