Zadanie optymalizacyjne

[Maturzysta2k18]

Dwa wierzchołki A i B kwadratu ABCD należą do prostej x - 2y = 0, a wierzchołek C należy do hiperboli y = - 8/x. Oblicz długość przekątnej kwadratu, którego pole jest najmniejsze.

Jestem kompletnie zielony jeśli chodzi chodzi o zadania optymalizacyjne, więc prosiłbym o rozwiązanie z wyjaśnieniem . Jedyne co umiem to liczyć pochodne, ekstrema itd. Więc narzędzia jakby mam, ale nie umiem ich użyć.

[korki_fizyka]

1. rysujesz prostą i hiperbolę
2. rysujesz kwadrat i wyznaczasz współrzędne jego wierzchołków
3. formułujesz wzór na przekątną jako długość odcinka = odległość dwu punktów
3.parametryzujesz ten wzór tzn. ustalasz sobie jedna zmienną np. x
4. badasz pochodną tej funkcji i szukasz jej miejsc zerowych
5. podajesz odpowiedź

[Maturzysta2k18]

Wyszła mi przekątna o długości (8_/5) / 5 a ma wyjść (8_/10) / 5, więc mi wyszedł tak jakby bok, bo przekątna to a_/2.
Potrzebuje już chyba tylko wskazówki jak ustalić współrzędne punktu A, bo u mnie Punkt A i Punkt B mają jakby ten sam wzór na współrzędne, A(xa, 1/2 xa) ; B(xb, 1/2 xb), stąd najpewniej wynika mój błąd końcowy.

[Maturzysta2k18]

Będę wdzięczny za wszelką pomoc, bo patrzę na to i patrzę i nic nie widzę .

[Galen]

Zauważ,że pole kwadratu jest najmniejsze,gdy jest to kwadrat o najmniejszym boku a.
Bok a jest równy długości odcinka łączącego punkt C hiperboli z daną prostą ,przy czym jest to odcinek prostopadły
do tej prostej. Oznacza to,że a jest odległością punktu C od danej prostej.
\(C=(x_c; \frac{-8}{x_c})\)
\(Prosta \;AB\;\;:\;\;\;\;x-2y=0\)
\(Odległość\;C\;\;od\;prostej\;\;AB\;\;\; \frac{|x_c-2\cdot\frac{-8}{x_c}|}{ \sqrt{1+4} }= \frac{x_c+ \frac{8}{x_c} }{ \sqrt{5} }\)
Jest to funkcja zmiennej \(x_c\)
Wyznacz jej minimum i otrzymasz bok a kwadratu o najmniejszym polu.Dla uproszczenia obliczeń biorę \(x_c>0\)
\(f'(x_c)= \frac{1}{ \sqrt{5} }(1- \frac{16}{x_c^2})\)
\(f'(x_c)=0\;\;\;\;\;gdy\;\;\;\;\; \frac{16}{x_c^2}=1\\x_c=4\)
\(C=(4; \frac{-8}{4})=(4;-2)\) Uwzględniając wcześniej sporządzony rysunek masz też drugi punkt C(-4;2)
\(a= \frac{|4+4|}{ \sqrt{5} }= \frac{8 \sqrt{5} }{5}\)
Kwadrat o takim boku ma najmniejsze pole.
\(Przekątna\;\;\;:\;\;\;d=a \sqrt{2} = \frac{8 \sqrt{5} }{5} \cdot \sqrt{2}= \frac{8 \sqrt{10} }{5}\)

[Maturzysta2k18]

A wiesz może Galen czy dałoby się od razu zrobić funkcję z długości przekątnej AC? Bo tak robiłem, ale współrzędne punktu A i B leżą na tej samej prostej i po podstawieniu do wzoru zamiast przekątnej AC wychodzi mi bok AB tak jakby...