Promień okręgu opisanego na czworokącie

[Maturzysta2k18]

W okrąg o środku O wpisano czworokąt ABCD że AB=8 i BC=4 Oblicz promień tego okręgu jeżeli kąt miedzy promieniami AO i CO ma miarę 120 stopni.

W odp. wynik jest (4_/21)/3, a mi wychodzi 4.
Dodam tylko, że używam podwójnego twierdzenia cosinusow w rozwiązaniu.

[eresh]

Tu trzeba rozważyć dwa przypadki
1. B leży na dłuższym łuku AC - to Twoje rozwiązanie
2. B leży na krótszym łuku AC
\(|AC|^2=8^2+4^2-2\cdot 8\cdot 4\cdot \cos 120^{\circ}\\
|AC|^2=112\\
112=R^2+R^2-2R^2\cos 120^{\circ}\\
112=3R^2\\
R=\frac{4\sqrt{21}}{3}\)

[Maturzysta2k18]

Chyba złapałem o co chodzi - tak jakby spojrzeć na drugi kąt, który tworzą promienie = 240°. Ale nie rozumiem dlaczego w tym drugim przypadku długości boków są takie same jak w pierwszym przypadku. Przecież bierzemy wtedy dwa boki, których długości nie znamy.

[eresh]

Chyba złapałem o co chodzi - tak jakby spojrzeć na drugi kąt, który tworzą promienie = 240°. Ale nie rozumiem dlaczego w tym drugim przypadku długości boków są takie same jak w pierwszym przypadku. Przecież bierzemy wtedy dwa boki, których długości nie znamy.

Znamy

Bez tytułu.png (16.42 KiB) Przejrzano 3660 razy

[Galen]

Czworokąt jest opisany na okręgu (okrąg jest wpisany w czworokąt),a wtedy suma przeciwległych boków czworokąta jest stała.

[Maturzysta2k18]

Eresh narysowałaś dwa boki, a dwa pozostałe nie mają żadnej miary i nie znamy jej z twierdzenia o wpisaniu w okrąg, bo to tak jakby oznaczyć je x, y i napisać x+8=y+4, czy to nam coś daje? Dalej nie rozumiem .

[eresh]

Eresh narysowałaś dwa boki, a dwa pozostałe nie mają żadnej miary i nie znamy jej z twierdzenia o wpisaniu w okrąg, bo to tak jakby oznaczyć je x, y i napisać x+8=y+4, czy to nam coś daje? Dalej nie rozumiem .

Dwa razy twierdzenie cosinusów: dla trójkąta ACB (wyliczam długość boku AC) i dla trójkąta ACO - wyliczam długość promienia

[Maturzysta2k18]

A dobra, rozumiem jednak. To tak jakby zmienić tylko bok B z bokiem D i wtedy mamy ten drugi przypadek. Zadania z dwoma rozwiązaniami są bardzo wymagające ehh ... Swoją drogą w odpowiedziach jest tylko jeden wariant, tego z R = 4 nie ma. Ale to pewnie błąd wydawnictwa.
Dziękuję za pomoc .