Geometria analityczna - zadanie z parametrem 3

[Maturzysta2k18]

Dla jakich wartości parametru a proste 3x + ay + 1 =0 i ax +3 y - 1 =0 maja jeden punkt wspólny należący do drugiej ćwiartki układu współrzędnych?
W odpowiedziach jest a € (- \infty , 3) - {-3}
A mi wychodzi to samo, ale bez wyłączenia -3. Wygląda to na cyfrę wyłączona z dziedziny, ale jak dla mnie dziedzina to R - {3} .

[eresh]

\(\begin{cases}3x+ay=-1\\ax+3y=1\end{cases}\\
W= \begin{vmatrix} 3&a\\a&3\end{vmatrix}=(3-a)(3+a)\\
W_x= \begin{vmatrix}-1&a\\ 1&3\end{vmatrix}=-3-a=-(3+a)\\
W_y= \begin{vmatrix} 3&a\\-1&1\end{vmatrix}=3+a\\
\begin{cases}x= \frac{-(3+a)}{(3+a)(3-a)}\\y=\frac{3+a}{(3+a)(3-a)}\end{cases}\\\)
układ ma mieć jedno rozwiązanie, takie że \(x<0\;\; \wedge\;\; y>0\)
1. \(a\neq -3\) wtedy układ ma nieskończenie wiele rozwiązań
2. \(a\neq 3\) - wtedy układ jest sprzeczny
3. x<0
\(\frac{-(3+a)}{(3+a)(3-a)}<0\\
\frac{-1}{3-a}<0\\
3-a>0\\
a<3\)
4. y>0
\(\frac{3+a}{(3+a)(3-a)}>0\\
\frac{1}{3-a}>0\\
3-a>0\\
a<3\)

Odp. \(a\in (-\infty, 3)\setminus\{-3\}\)

[Maturzysta2k18]

A mógłbym Cię prosić o wytłumaczenie dokładniejsze wątku {-3}? Bo mając ten układ równań z wyznaczonym x i y można przecież skrócić mianownik z licznikiem i zostajemy z 1 w liczniku, więc jak to się ma do -3, która daje nam nieskończenie wiele rozwiązań? Nie rozumiem tego .

To tak jakby mieć jakiekolwiek inne równanie i pomnożyć je np. przez (x-3)/(x-3) czyli de facto 1, więc to chyba nie zmienia naszej dziedziny? Tak to odbieram.

[eresh]

A mógłbym Cię prosić o wytłumaczenie dokładniejsze wątku {-3}? Bo mając ten układ równań z wyznaczonym x i y można przecież skrócić mianownik z licznikiem i zostajemy z 1 w liczniku, więc jak to się ma do -3, która daje nam nieskończenie wiele rozwiązań? Nie rozumiem tego .

To tak jakby mieć jakiekolwiek inne równanie i pomnożyć je np. przez (x-3)/(x-3) czyli de facto 1, więc to chyba nie zmienia naszej dziedziny? Tak to odbieram.

rzuć okiem na tabelkę na dole:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82a ... 3wna%C5%84

[Maturzysta2k18]

Wiem, że jak wychodzi nam 0=0 to jest tożsamościowe, czyli nieskończenie wiele rozwiązań, ale gdzie podstawić -3, by to wyszło? Przecież tam się skraca mianownik z licznikiem, czegoś tu nie łapię .

[eresh]

Wszystkie wyznaczniki się zerują dla a=-3

[Galen]

Dla \(a=-3\) proste mają równania:
\(pierwsza\;\;\;\;\;\;\;3x-3y+1=0\;\;\;\;\;druga\;\;\;\;-3x+3y-1=0\)
Jak łatwo zauważyć równania są tożsame(równoważne),czyli przedstawiają tę samą prostą.
W zadaniu chodziło o dwie proste przecinające się w jednym punkcie.
Dlatego a=-3 wykluczasz.

[Maturzysta2k18]

A czy pokusiłby się ktoś o policzenie tego zadania metodą układów równań i podstawiania? Bo metodą wyznacznikową faktycznie wychodzi, ale nie wiem dlaczego w metodzie podstawiania, której najczęściej używam, mi nie wychodzi. Nie widzę w tej metodzie momentu, w którym trzeba wykluczyć (-3) z dziedziny. Rozumiem dlaczego trzeba to zrobić, ale w samym zapisie algebraicznym tego nie widzę.

[radagast]

\(\begin{cases}3x+ay=-1\\ax+3y=1\end{cases}\)
\(\begin{cases}y= \frac{1-ax}{3}\\3x+a\frac{1-ax}{3}=-1\end{cases}\)
\(\begin{cases}y= \frac{1-ax}{3}\\9x+a-a^2x=-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}y= \frac{1-ax}{3}\\(9-a^2)x+3+a=0\end{cases}\)
\(\begin{cases}y= \frac{1-ax}{3}\\(3+a)(3-a)x+3+a=0\end{cases}\)
drugie równanie można podzielić przez x+3, pod warunkiem , że to nie jest 0 czyli.... no i masz swoją metodą to samo

[Maturzysta2k18]

A no taak! Dziękuję serdecznie !