Ciąg geometryczny sumy początkowych wyrazów k

[Maturzysta2k18]

Suma k początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa 3 a suma 2k początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 18. Oblicz sume 3k początkowych wyrazów tego ciągu.

Znalazłem jakieś rozwiązanie ze znajdowaniem "q" poprzez dzielenie S2k na Sk, z tego ma podobno wyjść qk, ale nie mam pojęcia w jaki sposób.

[kerajs]

\(a_{1}\cdot\frac{1-q^{k}}{1-q}=3\)
\(a_{1}\cdot\frac{1-q^{2k}}{1-q}=18\)
dzieląc je stronami mam:
\(\cdot\frac{1-q^{2k}}{1-q^{k}}=6\)
co daje \(q^{k}=5\)

\(3=S_{k}=a_{1}\cdot\frac{1-q^{k}}{1-q}=a_{1}\cdot\frac{1-q^{3k}}{1-q} \frac{1-q^{k}}{1-q^{3k}} =S_{3k} \cdot \frac{1-5}{1-5^3}\)
\(3=S_{3k} \cdot \frac{1}{31}\)
\(S_{3k}=93\)

[Galen]

Wzory na \(S_{2k}\;\;\;i\;\;\;\;S_k\) znasz.
\(\frac{S_{2k}}{S_k}= \frac{ \frac{a_1(1-q^{2k}}{1-q} }{ \frac{a_1(1-q^k)}{1-q} }= \frac{18}{3}\)
Skracasz \(a_1\) i rozkładasz pierwszy licznik zgodnie z wzorem \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\) i dzielenie zastępujesz
mnożeniem przez odwrotność mianownika...
\(\frac{(1-q^k)(1+q^k)}{1-q} \cdot \frac{1-q}{1-q^k}=6\)

\(1+q^k=6\\q^k=5\)
Liczysz \(a_1\) z wzoru na sumę k wyrazów
\(S_k=a_1 \frac{1-q^k}{1-q}=3\\a_1= \frac{3(1-q)}{1-q^k}= \frac{3(1-q)}{1-5}=- \frac{3}{4}(1-q)\)
\(S_{3k}=a_1 \cdot \frac{1-q^{3k}}{1-q}=a_1 \cdot \frac{1-(q^k)^3}{1-q}= \frac{- \frac{3}{4}(1-q) \cdot (1-5^3) }{1-q}=- \frac{3}{4} \cdot (1-125)=3 \cdot 31=93\)

[Maturzysta2k18]

Dziękuję bardzo
W życiu bym się nie domyślił, że przez dzielenie S2k na Sk można otrzymać q .