Udowodnij, że jeśli dla dowolnych liczb dodatnich x,y,z spełniony jest warunek \(x^2+y^2+z^2= \sqrt{3}\)
to \(x^2 y^2+y^2 z^2+x^2 z^2 ≤1\)
Dowód
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Panko
- Fachowiec
- Posty: 2946
- Rejestracja: 20 gru 2013, 21:41
- Lokalizacja: Radom
- Otrzymane podziękowania: 1556 razy
- Płeć:
Re: Dowód
\(x^2 +y^2+z^2 = \sqrt{3}\) , podnosimy do kwadratu obustronnie
(***) \(x^4+y^4+z^4 = 3-2(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2 )\)
..............................................................................
Dla wektorów \([x^2,y^2,z^2] , [y^2,z^2,x^2]\) stosujemy Nierówność Cauchy’ego-Schwarza
i dostajemy \([x^2,y^2,z^2] \circ [y^2,z^2,x^2]\) =\(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2\) \(\le\)\(\sqrt{x^4 +y^4 +z^4}\)\(\cdot \sqrt{y^4 +z^4 + x^4}\) =\(x^4+y^4+z^4\)
.............................................................................
do powyższego : \(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2\)\(\le\)\(x^4+y^4+z^4\) stosuję (***) i jest
\(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2\)\(\le\)\(3-2(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2 )\)
co ostatecznie daje żądaną nierówność
(***) \(x^4+y^4+z^4 = 3-2(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2 )\)
..............................................................................
Dla wektorów \([x^2,y^2,z^2] , [y^2,z^2,x^2]\) stosujemy Nierówność Cauchy’ego-Schwarza
i dostajemy \([x^2,y^2,z^2] \circ [y^2,z^2,x^2]\) =\(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2\) \(\le\)\(\sqrt{x^4 +y^4 +z^4}\)\(\cdot \sqrt{y^4 +z^4 + x^4}\) =\(x^4+y^4+z^4\)
.............................................................................
do powyższego : \(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2\)\(\le\)\(x^4+y^4+z^4\) stosuję (***) i jest
\(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2\)\(\le\)\(3-2(( xy)^2 +(yz)^2 +(zx)^2 )\)
co ostatecznie daje żądaną nierówność